新高考数学二轮复习讲义第二十一讲空间向量在立体几何中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1.法向量的求解
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一个平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量 SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量，向量 SKIPIF 1 < 0 是与平面平行或在平面内，则有 SKIPIF 1 < 0 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 SKIPIF 1 < 0 ；
第二步：那么平面法向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
第三步：化解方程组令 SKIPIF 1 < 0 其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．

3.平面与平面的位置关系
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ．

4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为异面直线所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）线面角公式：设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量， SKIPIF 1 < 0 为
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）二面角公式：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （需要根据具体情况判断相等或互补），其中 SKIPIF 1 < 0 ．
5.点到平面的距离
SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 外一点（如图）， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线 SKIPIF 1 < 0 及垂线 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面ACD；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，五面体ABCDE的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是底面的内接正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，P是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点.
(1)是否存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为3，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设点T为BC上的点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
设 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 为圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴截面， SKIPIF 1 < 0 是圆柱上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的母线.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面DEF；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为60°，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
6.如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面ABCD是平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面PED；
（2）设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AD与平面PED所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为2，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积；
（2）求A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
例2.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
（1）点H在棱BC上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定动点F在棱 SKIPIF 1 < 0 上的位置，并说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求点D到平面AEF的最大距离．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内一点，点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外的任意一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，就等于向量 SKIPIF 1 < 0 在法向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影的绝对值，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，如图②，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当翻折至 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值.
2.如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
3.如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 和梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的平面交平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离：
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，圆台下底圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，直径为2，圆与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，圆台上底的圆心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直径为1．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，若不存在则说明理由．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BCD， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为a，E是棱 SKIPIF 1 < 0 的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0
③E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值为 SKIPIF 1 < 0
④过点 SKIPIF 1 < 0 ，C，E的截面的面积的范围是 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
2．在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 平面对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．若平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
3．直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不含端点），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直
C． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
4．如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 内一点，给出下列三个论断：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
5．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为___________．
四、解答题
6．如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设P是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求AC与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
8.如图所示，在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
（1）指出棱 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面 SKIPIF 1 < 0 截该四棱柱所得的截面补充完整；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
9.如图，圆锥PO的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10.如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点O， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角的等腰直角三角形且 SKIPIF 1 < 0 ．求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．