新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第14讲 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点一 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α0，,Δ0，当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m＜－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【变式6-1】设函数f (x)＝ax2－2x＋2，对于满足1eq \f(2,x)－eq \f(2,x2)对1－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(fx1＋fx2,2)，则f(x)的图象可能是( )
【答案】C
【解析】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≥eq \f(fx1＋fx2,2)，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.
7.．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
【答案】eq \f(36,5)
【解析】设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.
则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，
又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；
所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k4，m的最大值为b，所以有b＝5.
即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，代入x＝5，解得k＝eq \f(36,5).
8．已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M.
(1)若b＝2，试求出M；
(2)若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
【解析】(1)当b＝2时，f(x)＝－x2＋4x＋c在区间[－1，1]上是增函数，
则M是g(－1)和g(1)中较大的一个，
又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，
则M＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|－5＋c|，c≤1,|3＋c|，c>1)).
(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，
(ⅰ)当|b|>1时，y＝g(x)在区间[－1，1]上是单调函数，
则M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.
(ⅱ)当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，
此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
①当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
则M＝max{g(b)，g(1)}≥eq \f(1,2)(g(b)＋g(1))≥eq \f(1,2)|f(b)－f(1)|＝eq \f(1,2)(b－1)2≥eq \f(1,2)；
②当0eq \f(1,2).
综上可知，对任意的b、c都有M≥eq \f(1,2).
而当b＝0，c＝eq \f(1,2)时，g(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－x2＋\f(1,2)))在区间[－1，1]上的最大值M＝eq \f(1,2)，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为eq \f(1,2).
9．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f3＝5，,f2＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋2＋b＝5，,2＋b＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))
当a0时，a＝1，b＝0，当a