新高考数学一轮复习 讲与练第14讲 三角函数的图像和性质（2份打包，原卷版+解析版）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
考点和典型例题
1、三角函数的定义域和值域
【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值1，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值大于 SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解：函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一个为 SKIPIF 1 < 0 的最大值，一个为最小值，
则 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 （i），或 SKIPIF 1 < 0 （ii）
对于（i），当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
对于（ii），当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值
C． SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，
SKIPIF 1 < 0 ，BC错误，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则m的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解：因为不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要使f(x)在 SKIPIF 1 < 0 上的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为偶函数满足题意．
故选：C．
【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数 SKIPIF 1 < 0 ，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．是奇函数也是偶函数
【答案】B
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数.
故选：B.
【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值周期为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，所得图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 的一个值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度所得的函数解析式为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又函数图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，其余选项不适合①式.
故选：B．
3、三角函数的单调性
【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【答案】B
【详解】
解：将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的值可能为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则使得 SKIPIF 1 < 0 单调递增的一个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间 SKIPIF 1 < 0 内是增函数的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
A.因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故正确；
B. SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，故错误；
C. SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，故错误；
D. 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是偶函数，故错误；
故选：A
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍 SKIPIF 1 < 0 纵坐标不变 SKIPIF 1 < 0 ，再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解：将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍 SKIPIF 1 < 0 纵坐标不变 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 得区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无