高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性背景图课件ppt

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必备知识·情境导学探新知
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……问题　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点1　奇函数、偶函数的定义
提醒　(1)定义域关于原点对称时，函数f (x)＝0既是奇函数又是偶函数．(2)若奇函数在原点有定义，则f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
思考　1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示]　定义域关于原点对称．
知识点2　奇函数、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．(2)如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是__函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是__函数．
提醒 由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．
思考　2．若f (x)为奇函数，且点(x，f (x))在其图象上，则哪一个点一定在其图象上？若f (x)为偶函数呢？
[提示]　若f (x)是奇函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，－f (x))也在其图象上．若f (x)是偶函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，f (x))也在其图象上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图象一定过原点．(　　)
[提示]　不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(2)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数．(　　)
(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f (x)＋f (－x)＝0，则函数f (x)是奇函数．(　　)
[提示]　若f (x)＋f (－x)＝0，则f (－x)＝－f (x)．
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图象都不具有奇偶性．]
A　　　 B　　　　 C　　　　D
3．若f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝2，则f (－3)＝________，f (0)＝________．
－2　0　[由奇函数定义及性质可知，f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0．]
关键能力·合作探究释疑难
(3)[解]　①因为x∈R，f (－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．②函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．③(法一)作出函数图象如图，关于原点对称，所以函数是奇函数．
发现规律　判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：
类型2　奇、偶函数图象的应用【例2】　已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)由题意作出函数图象如图．(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
[母题探究](变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
[解]　(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
反思领悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题．
类型3　利用奇偶性求值【例3】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
反思领悟　利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解．
[跟进训练]3．(1)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，求实数a的值．(2)已知定义域为R的函数g(x)＝f (3x)＋x2为奇函数，且f (3)＝3，求f (－3)．
[解]　(1)(法一)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．(法二)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．(法三)根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4．
(2)∵函数g(x)＝f (3x)＋x2是定义域为R的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(－1)＝－g(1)＝－[f (3)＋1]＝－4，∴g(－1)＝f (－3)＋1＝－4，∴f (－3)＝－5．
学习效果·课堂评估夯基础
C　[f (x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．]
－13　[由题意，设g(x)＝f (x)－2＝ax7－bx5＋cx3，又g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，可得g(－5)＋g(5)＝0，即f (－5)＋f (5)＝4，又f (－5)＝17，则f (5)＝－13．]
3．已知 f (x)＝ax7－bx5＋cx3＋2, 且f (－5)＝17，则f (5)＝_____．
2　[x<0时，－x>0，f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)＝－x2－2x，所以f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，即m＝2．]
[提示]　(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．(2)奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你对函数奇偶性的定义是怎样理解的？