新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题21 空间向量与立体几何（2份打包，原卷版+解析版）

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1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；
2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；
3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。
一、空间向量及其运算
【思维导图】
1、空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示， SKIPIF 1 < 0 叫作起点， SKIPIF 1 < 0 叫作终点；
一种是用小写字母 SKIPIF 1 < 0 （印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 作向量 SKIPIF 1 < 0 的相等向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 叫作向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记作 SKIPIF 1 < 0 ，规定 SKIPIF 1 < 0 ．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时． SKIPIF 1 < 0 =0或 SKIPIF 1 < 0 =．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把 SKIPIF 1 < 0 叫作向量的单位向量，记作 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 与同向．
（4）当 SKIPIF 1 < 0 =0或时，向量平行于，记作；当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，向量 SKIPIF 1 < 0 垂直，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
2、空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
二、空间向量基本定理
【思维导图】
共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数 SKIPIF 1 < 0 ，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量 SKIPIF 1 < 0 不共面，那么对空间任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在一个唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
三、空间向量的直角坐标运算
【思维导图】
空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
⑥ SKIPIF 1 < 0 ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的确定：
过 SKIPIF 1 < 0 作面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，在面 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
四、空间向量的应用
【思维导图】
用向量方法讨论垂直与平行

用向量方法求角
用向量方法求距离
【题型汇编】
题型一：空间向量及其运算
题型二：空间向量的应用
【题型讲解】
题型一：空间向量及其运算
一、单选题
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的加、减运算即可求解.
【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，A不正确；
对于B，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，即 SKIPIF 1 < 0 不平行于平面 SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
对于D，由选项C知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 不垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
故选：B
3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】
解：因为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
4．（2022·天津三中三模）在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 ，列方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可确定出点 SKIPIF 1 < 0 的位置，进而可求出三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积
【详解】
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，则
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
5．（2022·江西新余·二模（文））已知长方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先构造和平面 SKIPIF 1 < 0 平行的截面 SKIPIF 1 < 0 ，再根据空间向量共面确定点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹形状，再求其长度.
【详解】
如图所示，E，F，G，H，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，DA，AB的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在侧面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ，
因为AB=AD=2， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
1．（2022·山东枣庄·一模）如图，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，以顶点 SKIPIF 1 < 0 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
面积为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
D正确.
故选：ABD.
题型二：空间向量的应用
一、单选题
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中O为面 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 为面 SKIPIF 1 < 0 的中心.若E为 SKIPIF 1 < 0 中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【详解】
设正方体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，建立如图所示空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，点P是底面ABCD内一动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 两点间距离最小为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正四棱锥，可得 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
由底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，在直角 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，
所以当圆与 SKIPIF 1 < 0 的交点时，此时 SKIPIF 1 < 0 两点间距离最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，则线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用坐标法，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
即线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2022·江西上饶·二模（理））如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 内一动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 点与 SKIPIF 1 < 0 重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.
【详解】
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球即为长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球，
SKIPIF 1 < 0 外接球 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 外接球表面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．（2022·山西临汾·二模（文））如图，在圆锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点C在圆O上，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为60°时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据空间向量的数量积运算求得点C的坐标，再由异面直线的空间向量求解方法可求得答案．
【详解】
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为60°，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点C在圆O上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角60°，
故选：C．

6．（2022·四川雅安·二模）如图，长方体 SKIPIF 1 < 0 中，点E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 能与AE平行；②直线 SKIPIF 1 < 0 与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点P，Q，则点 SKIPIF 1 < 0 可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
当点E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点时，可证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线
【详解】
长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当点E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点时，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 能与AE平行， SKIPIF 1 < 0 与EF相交，①正确，②错误；
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又两向量有公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故则点 SKIPIF 1 < 0 可能在直线PQ上，③正确.
故选：B
二、多选题
1．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．异面直线AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
A： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论正确；
B：侧面 SKIPIF 1 < 0 的对角线交点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值，因此本选项结论正确；
C： SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，所以本选项结论不正确；
D：设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为：
SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论不正确，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.
2．（2022·广东梅州·二模）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在体对角线 SKIPIF 1 < 0 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 为锐角
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0
D．顶点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时，根据 SKIPIF 1 < 0 判断 SKIPIF 1 < 0 得符号即可判断A；当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，分析即可判断D.
【详解】
解：如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为原点建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为锐角，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
由B得，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
可取 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为0，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
三、解答题
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥GACD的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，求锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据题意可证 SKIPIF 1 < 0 平面BDG，可得 SKIPIF 1 < 0 ，得证 SKIPIF 1 < 0 平面ACE，得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面面平行的性质可证 SKIPIF 1 < 0 ；（2）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量求二面角．
(1)
连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由直四棱柱得 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，BD， SKIPIF 1 < 0 平面BDG，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面BDG，因为 SKIPIF 1 < 0 平面BDG，
∴ SKIPIF 1 < 0
已知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，AC， SKIPIF 1 < 0 平面ACE，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面ACE，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BDG，∴
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面CFGD
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
(2)
已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
在直四棱柱中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直线AF与底面ABCD所成角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
在平面ACF内作 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
设平面BCE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
(3)求点E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
(1)
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由图知二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)
由（2）可知：平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以点E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
运算类型
几何方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则：
SKIPIF 1 < 0
加法交换率：
SKIPIF 1 < 0
加法结合率：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2三角形法则：
SKIPIF 1 < 0
向
量
的
减
法
三角形法则：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
向
量
的
乘
法
SKIPIF 1 < 0 是一个向量，满足：
SKIPIF 1 < 0 >0时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向；
SKIPIF 1 < 0 <0时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异向；
SKIPIF 1 < 0 =0时， SKIPIF 1 < 0 =0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
向
量
的
数
量
积
1． SKIPIF 1 < 0 是一个数： SKIPIF 1 < 0 ；
2． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图示
向量证明方法
线线平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量）
线线垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量）
线面平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是直线的方向向量， SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量）．
线面垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是直线的方向向量， SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量）
面面平行
（ SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ）
（ SKIPIF 1 < 0 分别是平面，的法向量）
面面垂直
（ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是平面，的法向量）
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点）
直线和平面的夹角
（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角
SKIPIF 1 < 0
（平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ）
图示
向量证明方法
点到平面的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的公共法向量）
两平行平面间的距离
SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个公共法向量）