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新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题17 等比数列及其前n项和（2份打包，原卷版+解析版）
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1、通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2、掌握等比中项的概念并会应用，掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．
3、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
4、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【思维导图】
一、等比数列的概念
【考点总结】
1、等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．数学表达式
在数列{an}中，若eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq \r(ab).
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±eq \r(ab)，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
3、等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
[化解疑难]
1．在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝eq \f(a1,q)·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
二、等比数列的前n项和
【考点总结】
1、等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q).
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))
2、等比数列的前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)（q≠1），,na1（q＝1）.))
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)适用于已知a1，q和项数n，而公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)更适用于已知a1，q和末项an，使用时依据条件灵活选用．
【题型汇编】
题型一：等比数列的定义
题型二：等比数列的通项公式
题型三：等比数列的性质
题型四：等比数列的前n项和
【题型讲解】
题型一：等比数列的定义
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（文））若数列 SKIPIF 1 < 0 对任意正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．17B．18C．34D．84
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为其前n项和.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．30C．31D．62
5．（2022·重庆·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·广西广西·一模（文））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．13B．15C．31D．33
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则公差 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．无穷多
二、多选题
1．（2022·山东潍坊·三模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列B．对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 一定是等差数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 一定是等比数列
题型二：等比数列的通项公式
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江西萍乡·二模（理））等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·河南新乡·三模（理））设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022·河南·三模（理））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．80B．242C． SKIPIF 1 < 0 D．244
5．（2022·甘肃·二模（文））正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前7项和 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．256B．254C．252D．126
6．（2022·安徽六安·一模（文））标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“ SKIPIF 1 < 0 ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ SKIPIF 1 < 0 ”的边长都是下一行“ SKIPIF 1 < 0 ”边长的 SKIPIF 1 < 0 倍，若视力4.0的视标边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则视力4.8的视标边长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·河南·二模（文））将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．319B．320C．321D．322
8．（2022·河北唐山·三模）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B． SKIPIF 1 < 0 C．32D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·广东佛山·三模）已知公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．48B．32C．16D．8
10．（2022·贵州毕节·三模（理））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
11．（2022·新疆昌吉·二模（文））数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成公比为q的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1或3B．0或2C．3D．2
二、多选题
1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数），则称 SKIPIF 1 < 0 为“等方差数列”， SKIPIF 1 < 0 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等方差数列
B．若正项等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列，又是等差数列
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 SKIPIF 1 < 0 次得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三：等比数列的性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为2，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．6
2．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西九江·二模）若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．－2B．1C．－1D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 与正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．以上都不正确
5．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·陕西·西安中学三模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的二根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
8．（2022·四川雅安·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项积，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1024B．512C．256D．128
9．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·陕西西安·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．-1C．1或-8D．-8
二、多选题
1．（2022·湖南怀化·一模）设 SKIPIF 1 < 0 是各项为正数的等比数列，q是其公比， SKIPIF 1 < 0 是其前n项的积，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
题型四：等比数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（理））已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为q的等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1B．2
C． SKIPIF 1 < 0 或1D． SKIPIF 1 < 0 或2
3．（2022·陕西渭南·二模（理））十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，插入11个数后这13个数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 SKIPIF 1 < 0 B．插入的第7个数是插入的第3个数的 SKIPIF 1 < 0 倍
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·江西南昌·二模（文））已知公比不为1的正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则公比q=（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·湖南常德·一模）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（2022·新疆喀什·一模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·宁夏·固原一中一模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B．255C．85D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·安徽宣城·二模（文））我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A．32盏B．64盏C．128盏D．196盏
10．（2022·河南濮阳·一模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A．4B．8C．12D．16
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·福建漳州·一模）立德中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组在2021年国庆假期走上街头分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿出了90元印刷宣传材料，则从第2天起，第 SKIPIF 1 < 0 天募得的捐款数为 SKIPIF 1 < 0 元.若甲小组前n天募得捐款数累计为 SKIPIF 1 < 0 元，乙小组前n天募得捐款数累计为 SKIPIF 1 < 0 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．从第6天起.总有 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
1、通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2、掌握等比中项的概念并会应用，掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．
3、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
4、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【思维导图】
一、等比数列的概念
【考点总结】
1、等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．数学表达式
在数列{an}中，若eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq \r(ab).
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±eq \r(ab)，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
3、等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
[化解疑难]
1．在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝eq \f(a1,q)·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
二、等比数列的前n项和
【考点总结】
1、等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q).
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))
2、等比数列的前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)（q≠1），,na1（q＝1）.))
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)适用于已知a1，q和项数n，而公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)更适用于已知a1，q和末项an，使用时依据条件灵活选用．
【题型汇编】
题型一：等比数列的定义
题型二：等比数列的通项公式
题型三：等比数列的性质
题型四：等比数列的前n项和
【题型讲解】
题型一：等比数列的定义
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（文））若数列 SKIPIF 1 < 0 对任意正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．17B．18C．34D．84
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为其前n项和.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．30C．31D．62
5．（2022·重庆·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·广西广西·一模（文））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．13B．15C．31D．33
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则公差 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．无穷多
二、多选题
1．（2022·山东潍坊·三模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列B．对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 一定是等差数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 一定是等比数列
题型二：等比数列的通项公式
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江西萍乡·二模（理））等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·河南新乡·三模（理））设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022·河南·三模（理））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．80B．242C． SKIPIF 1 < 0 D．244
5．（2022·甘肃·二模（文））正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前7项和 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．256B．254C．252D．126
6．（2022·安徽六安·一模（文））标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“ SKIPIF 1 < 0 ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ SKIPIF 1 < 0 ”的边长都是下一行“ SKIPIF 1 < 0 ”边长的 SKIPIF 1 < 0 倍，若视力4.0的视标边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则视力4.8的视标边长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·河南·二模（文））将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．319B．320C．321D．322
8．（2022·河北唐山·三模）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B． SKIPIF 1 < 0 C．32D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·广东佛山·三模）已知公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．48B．32C．16D．8
10．（2022·贵州毕节·三模（理））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
11．（2022·新疆昌吉·二模（文））数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成公比为q的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1或3B．0或2C．3D．2
二、多选题
1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数），则称 SKIPIF 1 < 0 为“等方差数列”， SKIPIF 1 < 0 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等方差数列
B．若正项等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列，又是等差数列
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 SKIPIF 1 < 0 次得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三：等比数列的性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为2，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．6
2．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西九江·二模）若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．－2B．1C．－1D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 与正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．以上都不正确
5．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·陕西·西安中学三模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的二根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
8．（2022·四川雅安·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项积，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1024B．512C．256D．128
9．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·陕西西安·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．-1C．1或-8D．-8
二、多选题
1．（2022·湖南怀化·一模）设 SKIPIF 1 < 0 是各项为正数的等比数列，q是其公比， SKIPIF 1 < 0 是其前n项的积，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
题型四：等比数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（理））已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为q的等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1B．2
C． SKIPIF 1 < 0 或1D． SKIPIF 1 < 0 或2
3．（2022·陕西渭南·二模（理））十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，插入11个数后这13个数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 SKIPIF 1 < 0 B．插入的第7个数是插入的第3个数的 SKIPIF 1 < 0 倍
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·江西南昌·二模（文））已知公比不为1的正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则公比q=（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·湖南常德·一模）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（2022·新疆喀什·一模（文））在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·宁夏·固原一中一模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B．255C．85D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·安徽宣城·二模（文））我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A．32盏B．64盏C．128盏D．196盏
10．（2022·河南濮阳·一模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A．4B．8C．12D．16
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·福建漳州·一模）立德中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组在2021年国庆假期走上街头分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿出了90元印刷宣传材料，则从第2天起，第 SKIPIF 1 < 0 天募得的捐款数为 SKIPIF 1 < 0 元.若甲小组前n天募得捐款数累计为 SKIPIF 1 < 0 元，乙小组前n天募得捐款数累计为 SKIPIF 1 < 0 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．从第6天起.总有 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
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