新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第19题 圆锥曲线解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T19）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 SKIPIF 1 < 0 时，求k的值．
【解】（1）解：依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：依题意过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
2.（2022·北京卷T19）．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为第一象限内E上的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1）依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆上下顶点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为第一象限 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，

易得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
显然， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，所以 SKIPIF 1 < 0 .
3.（2021·北京卷T20）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 一个顶点 SKIPIF 1 < 0 ，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点为顶点的四边形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交 SKIPIF 1 < 0 交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【解】（1）因为椭圆过 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆雉曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
则： SKIPIF 1 < 0
则：弦长
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
或 SKIPIF 1 < 0
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 SKIPIF 1 < 0 ），
（2）利用条件找到 SKIPIF 1 < 0 与过定点的曲线 SKIPIF 1 < 0 的联系，得到有关 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得无论 SKIPIF 1 < 0 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式进行变形，直至找到 SKIPIF 1 < 0 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 SKIPIF 1 < 0 的式子归为一组，变形为“ SKIPIF 1 < 0 ”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 SKIPIF 1 < 0 变为常数.
处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）的形式，代入方程和原式化简即可.

1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程及离心率；
(2) SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，且在第一象限内， SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点．过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，再过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的大小．
【解】（1）因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0
（2）依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为原点．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 不是椭圆的顶点）， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
.
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为第二象限内 SKIPIF 1 < 0 上的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解】（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，化简并整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 且不与坐标轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
【解】（1）由题可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ；解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意，作图如下：
由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，又过点 SKIPIF 1 < 0 ，故设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然其 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 两点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 都垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，也即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在.
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， 得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．①
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又中点在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
将之代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.
【解】（1）由题意可得c=1，e= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
解得a=2，b= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则kPM + kPN =2kPF，
则直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.
7．椭圆E： SKIPIF 1 < 0 焦距 SKIPIF 1 < 0 ，且过点( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，
(1)求椭圆E的标准方程和离心率，
(2)椭圆右顶点A，过(0,2)的直线交椭圆E于P，Q，其中P，Q不与顶点重合，直线AP，AQ分别与 SKIPIF 1 < 0 交于C，D， SKIPIF 1 < 0 与x轴交点为B，当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线PQ斜率．
【解】（1）由题设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆E的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，
离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率一定存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于P，Q不与顶点重合，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立椭圆并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无解；
综上， SKIPIF 1 < 0 .
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 不同的两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过定点．
【解】（1）由题可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，

联立 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆方程为，
SKIPIF 1 < 0 ，
由坐标表示可猜测得顶点坐标在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
猜测定点 SKIPIF 1 < 0 ，验证：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0
因此以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点（不与 SKIPIF 1 < 0 重合），直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，N.当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆截 SKIPIF 1 < 0 轴所得的弦长为定值.
【解】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
直线分别与 SKIPIF 1 < 0 相交，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆截 SKIPIF 1 < 0 轴所得的弦长 SKIPIF 1 < 0 为定值.
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，且由于 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【解】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆两交点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合，可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据已知条件设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线方程与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理有 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理有： SKIPIF 1 < 0 恒成立；
根据韦达定理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为一般式为： SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离也为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，由点到直线距离公式有：
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 两侧，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设四边形 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意有： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
椭圆方程，直线斜率
2023·北京卷T19
可以预测2024年新高考命题方向将继续以椭圆为背景展开命题．
圆锥曲线大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要以椭圆为背景考查斜率及面积问题、方程求解及探究问题、证明问题、范围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
椭圆方程，证明问题
2022·北京卷T19
椭圆方程，范围问题
2021·北京卷T20