第九章　§9.2　用样本估计总体-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第九章§9.2　用样本估计总体课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据_____ 这个值.p%大于或等于2.平均数、中位数和众数(1)平均数： ＝ .(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最_____的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时).(3)众数：一组数据中出现次数 的数据(即频数最大值所对应的样本数据).中间平均数最多3.方差和标准差(1)方差：s2＝ 或(2)标准差：s＝ .4.总体方差和总体标准差1.若x1，x2，…，xn的平均数为 ，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为 ＋a.2.数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(　　)(2)方差与标准差具有相同的单位.(　　)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(　　)(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　　)××√√2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是A.平均数 B.众数C.百分位数 D.标准差√标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.3.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是______.丙由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选.4.有一组数据：－1，a，－2，3，4，2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是______.1数据－1，a，－2，3，4，2，已知除a以外的数据从小到大排序为－2，－1，2，3，4，要使得中位数为1，则a在第3位或第4位，返回第二部分探究核心题型题型一　样本的数字特征的估计例1　(1)(多选)(2023·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下.则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有A.众数是8 B.第40百分位数为8C.平均数是9 D.中位数是9√√√由题意，随机抽取30名党员，由表可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，故A正确；因为共有30名党员，故中位数为第15项和第16项的平均数，因为第15项和第16项均为9，故中位数为9，故D正确.(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差√√取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.计算一组n个数据第p百分位数的步骤跟踪训练1　(1)(多选)(2023·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是A.小组A打分的分值的平均数为48B.小组B打分的分值的中位数为66C.小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D.小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差√√√由图可知，小组A打分的平均数为 ×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确.(2)某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.32.5由茎叶图知数据从小到大排列为27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因为12×25%＝3，题型二　总体集中趋势的估计例2　2024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革的省份进入新高考.2023年10月，进入新高考的七个省份相继公布了高考选考科目的试卷结构.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位数位于[110,130)内，(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.由图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.跟踪训练2　某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数；由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000.(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数.由图可估计众数为2.25；设中位数为x，因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以22.4，则当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故A正确；B选项，若5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，1234567891011121314C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误.二、多项选择题7.(2023·潮州模拟)根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10 ℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有A.平均数小于4B.平均数小于4且极差小于或等于3C.平均数小于4且标准差小于或等于4D.众数等于5且极差小于或等于4√√12345678910111213141234567891011121314举反例，如0,0,0,0,15，平均数为3小于4，但不符合入冬标准，故A错误；假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确；举反例，如1,1,1,1,11，平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误；众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，故D正确.8.已知数据x1，x2，…，x9成公差大于0的等差数列，若去掉数据x5，则A.极差不变 B.第25百分位数变大C.平均数不变 D.方差变小1234567891011121314√√选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x9－x1，去掉x5后的极差为x9－x1，即极差不变，故A正确；12345678910111213141234567891011121314三、填空题9.(2023·惠州模拟)数据68,70,80,88,89,90,96,98的第75百分位数为______.123456789101112131493123456789101112131410.(2023·黔西模拟)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为______.6因为样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，故样本数据x1，x2，…，x10的方差为9，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×9＝36，故数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为6.11.(2023·济南模拟)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为________.7.8依题意，这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6,7,8,9,9，1234567891011121314123456789101112131412.(2024·杭州模拟)已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为________.19.8设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18，1234567891011121314四、解答题13.(2023·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：1234567891011121314(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；123456789101112131412345678910111213141234567891011121314(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适.14.(2024·凉山统考)某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1 000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如右的频率分布直方图.(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；1234567891011121314由频率分布直方图知，(m＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.01，设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0，由数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内的频率为0.8，可得80