第一章　§1.6　一元二次方程、不等式-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§1.6　一元二次方程、不等式
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
{x|xx2}
2.分式不等式与整式不等式(1) >0(<0)⇔ ；(2) ≥0(≤0)⇔ .3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
1.一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形.2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
2.(必修第一册P55T5改编)已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________.
已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R.
3.(必修第一册P58T6改编)若不等式2kx2＋kx－ <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________.
当k＝0时，满足题意；
解得－34.已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________.
由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3，
所以a＋b＝5－6＝－1.
命题点1　不含参的不等式例1　(多选)下列选项中，正确的是A.不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}B.不等式 ≤1的解集为{x|－3≤x<2}C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“ <0”的充分不必要条件
题型一　求解一元二次不等式
因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
命题点2　含参的不等式例2　已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1由题意得，－1和3是方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0，
(2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集.
当b＝－a时，不等式f(x)≤1，即ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0.①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1；
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1　设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1.(1)若a＝－2，解不等式f(x)>0；
当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0，即(2x＋1)(x－1)<0，
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0.
由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0，
当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
例3　(1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是A.a>0B.不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为D.a＋b＋c>0
题型二　三个二次之间的关系
由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确；因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
所以bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，即(5x＋1)(4x－1)>0，
因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误.
(2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________.
设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2，则x1>1，x2>1，所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2，(x1－1)(x2－1)>0，由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4；由x1＋x2>2，得4>2显然成立；由(x1－1)(x2－1)>0，得x1x2－(x1＋x2)＋1>0，即a－4＋1>0，解得a>3，综上可得，3一元二次方程根的分布解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.(1)判别式Δ的符号.(2)对称轴x＝－ 与所给区间的位置关系.(3)区间端点处函数值的符号.
典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围；
依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围.
依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图，
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
跟踪训练2　(1)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x14
由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，
由x2－x1>4，可得－1(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝___________________.
x2－4x(答案不唯一)
因为f(x)<0恰有3个整数解，所以设三个整数解分别为1,2,3，则f(x)<0的解集可以为(0,4)，故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以c＝0，b＝－4a，令a＝1，则b＝－4，故f(x)＝x2－4x.(答案不唯一)
例4　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
题型三　一元二次不等式恒成立问题
不等式f(x)<1，即mx2－(m－1)x＋m－2<0，当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；当m≠0时，
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈ 恒成立，求m的取值范围；
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞).
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围.
不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立，令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增，则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，所以x的取值范围为[3，＋∞).
恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围.
故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4.故实数a的取值范围是(－∞，－4].
一、单项选择题1.(2023·湖州模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝ ，则A∩B等于A.{x|－14}C.{x|－2≤x≤4} D.{x|－2≤x≤－1}
因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，
所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－12.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－13.若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为A.0 B.1 C.－3 D.3
由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x)max.令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]，由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0，所以m≤0，故m的最大值为0.
4.已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的值可能为A.－2 B.－1 C.0 D.1
令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1，由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0，
5.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是A.[－1,2] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞)C.[－2,1] D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)
由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0，
bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以不等式的解集是[－1,2].
6.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为A.(－1,0]∪[2,3) B.[－2，－1)∪(3,4]C.(－2，－1)∪(3,4) D.[－1,0)∪(2,3]
不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a＝1时，不等式无解；当a<1时，不等式的解为a1时，不等式的解为1二、多项选择题7.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为A.∅ B.(－1，a)C.(a，－1) D.(a，＋∞)
根据题意，易知a≠0.当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞).当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅；若－18.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，则下列结论正确的是A.a>0B.c<0C.a＋b>0D.关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确；不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0，即x2－4x＋3<0，解得1等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)，
10.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3,4).那么原不等式的解集为________.
依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0，解得－212.一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”.已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为______________.
[－1,0)∪(8,9]
不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0.设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x1解得－1≤k≤9，又k>8或k<0，所以－1≤k<0或8四、解答题13.已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b由题意得，a<0，且b,2为方程ax2＋3x－2＝0的两根，
(2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围.
由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m，所以m≤－x2＋3x－4.因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立，即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1,2]，
所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8，所以m≤－8，故实数m的取值范围为(－∞，－8].
14.已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R.(1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；
依题意，mx2＋mx＋3>0在实数集R上恒成立.①当m＝0时，3>0，成立；②当m≠0时，要使原不等式恒成立，
综上，0≤m<12，故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}.
(2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5.
不等式f(x)>(3m－1)x＋5，等价于mx2＋(1－2m)x－2>0，即(x－2)(mx＋1)>0.
②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2；
当m＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}；
15.关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为
不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
16.若对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，则实数x的取值范围是_____________.
因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，设t(y)＝|y－1|＋|y－3|，则x2＋(3－m)x－6

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