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    第二章 §2.1 函数的概念及其表示-2025年新高考数学一轮复习(课件+讲义+练习)

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    1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题,一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究,深刻理解,要透过“样板”,学会通过逻辑思维,灵活运用所学知识去分析问题和解决问题,特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法,并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
    §2.1 函数的概念及其表示
    1.了解函数的含义.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
    第一部分 落实主干知识
    第二部分 探究核心题型
    1.函数的概念一般地,设A,B是       ,如果对于集合A中的   一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有     的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素:    、     、   .(2)如果两个函数的    相同,并且     完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
    3.函数的表示法表示函数的常用方法有    、图象法和    .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
    1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
    1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.(  )(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(  )(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点.(  )(4)函数f(x)=    的定义域为R.(  )
    2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中,是函数图象的是
    在函数的对应关系中,一个自变量只对应一个因变量,在图象中,图象与平行于y轴的直线最多有一个交点,故选项B中的图象不是函数图象.
    3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是
    对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数;
    对于D选项,y=1的定义域是R,y=x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
    4.已知函数f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的解析式是______________.
    f(x-1)=x2+4x-5,设x-1=t,则x=t+1,所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,故f(x)=x2+6x.
    例1 (1)(多选)下列说法中正确的有
    对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确;
    (2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-1)的定义域为_________.
    函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求:①A,B是非空的实数集;②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.
    跟踪训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是
    对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;对于C,两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一个函数;
    (2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[1,3] D.[3,4]
    所以函数h(x)的定义域为[1,3].
    例2 (1)已知f(1-sin x)=cs2x,求f(x)的解析式;
    (换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cs2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
    则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2),∴f(x)=x2-2(x≥2).
    (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
    (待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17,
    ∴f(x)=2x+7(x∈R).
    (4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.
    (解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2, ①∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2, ②由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,∴f(x)=3x-2(x∈R).
    函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
    (2)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,则f(x)=________________.
    因为f(x)为一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0),所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+b(k+1),因为f(f(x))=4x+9,所以k2x+b(k+1)=4x+9恒成立,
    所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.
    当-2≤x<1时,f(x)=x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,值域为(-∞,1],故f(x)的值域为(-∞,4],故B正确;
    当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.
    (2)已知函数f(x)= 若f(a)=4,则实数a的值是________;若f(a)≥2,则实数a的取值范围是______________________.
    [-3,-1)∪[4,+∞)
    解得a=-2或a=5.
    解得-3≤a<-1或a≥4,∴a的取值范围是[-3,-1)∪[4,+∞).
    分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
    跟踪训练3 (1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 023)等于A.0 B.1 C.2 D.3
    由题设,当x>0时,f(x)=f(x-3),即当x>0时,函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 023)=f(3×674+1)=f(1)=f(-2)=lg2[2-(-2)]=lg24=2.
    对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3,当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍去),综上,x=2或x=-3,所以B正确;
    对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1,综上,f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正确;对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3),因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确.
    一、单项选择题1.(2023·西安模拟)函数f(x)= +ln(1-x)的定义域是A.(-2,1) B.(-3,1)C.(1,2) D.(1,3)
    故函数f(x)的定义域是(-2,1).
    2.函数f(x)= 的值域是A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)
    3.(2023·驻马店统考)已知函数f(2x+1)=2x-x2-3,则f(3)等于A.-4 B.-2 C.2 D.4
    令2x+1=3,得x=1,则f(3)=2-1-3=-2.
    4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
    水壶的结构:底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度增加的由快变慢,中间增加的最慢,最后增加的由慢变快,由图可知选项A符合.
    5.已知f(x)= 实数a满足f(a)由题意可知,a≠0.当a<0时,f(a)=a2+2a,f(-a)=-a2-2a,所以由f(a)0时,f(a)=-a2+2a,f(-a)=a2-2a,所以由f(a)0,解得a>2,所以a的取值范围是(-2,0)∪(2,+∞).
    ∵当x≥1时,f(x)=ln x≥ln 1=0,又f(x)的值域为R,故当x<1时,f(x)的值域包含(-∞,0).
    二、多项选择题7.(2023·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是
    由“[a,b]交汇函数”定义可知,“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1].
    y=1-x2的定义域A=R,值域B=(-∞,1],则A∩B=(-∞,1],C错误;
    8.下列说法正确的是A.函数f(x+1)的定义域为[-2,2),则函数f(x)的定义域为[-1,3)
    对于A,对于f(x+1),令t=x+1⇒x=t-1∈[-2,2),则t∈[-1,3),所以f(t),即f(x)的定义域为[-1,3),故A正确;对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数,故B不正确;
    对于D,由2f(x)-f(-x)=x+1可得2f(-x)-f(x)=-x+1,
    要使函数f(x)有意义,
    (0,1)∪(1,2]
    故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].
    10.若f( +1)=x-1,则f(x)=_____________.
    令 +1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1),于是有f(t)=(t-1)2-1=t2-2t(t≥1)⇒f(x)=x2-2x(x≥1).
    当a≥1时,f(a)>a⇔a2>a,解得a>1;当a<1时,f(a)>a⇔2a+1>a,解得-1(-1,1)∪(1,+∞)
    12.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)= 若f(a-3)=f(a+2),则f(a)=______.
    作出函数f(x)的图象,如图所示.因为f(a-3)=f(a+2),且a-3∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.
    (2)画出这个函数的图象;
    此分段函数的图象如图所示.在函数y=3x+5的图象上截取x≤0的部分,在函数y=x+5的图象上截取0<x≤1的部分,在函数y=-2x+8的图象上截取x>1的部分.图中实线组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
    (3)求f(x)的最大值.
    由函数图象可知,当x=1时,f(x)取最大值6.
    15.(多选)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x],则下列结论正确的有A.f(-1.1)=0.9B.函数f(x)的图象关于原点对称C.f(x+1)=f(x)+1D.函数f(x)的值域为[0,1)
    对于A,因为f(x)=x-[x],所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9,故A选项正确;对于B,因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5,f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5,所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0,即函数f(x)的图象不关于原点对称,故B选项错误;对于C,因为∀x∈R,∃k∈Z,使得k≤x所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k,f(x)=x-[x]=x-k,故C选项错误;对于D,由C选项分析可知∀x∈R,总有f(x+1)=f(x),即f(x)是周期为1的周期函数,不妨设0≤x<1,则此时有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1,因此函数f(x)的值域为[0,1),故D选项正确.
    16.已知函数f(x)= 的定义域为R,则实数m的取值范围是_____________,若函数f(x)的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是__________.
    若函数f(x)的定义域为R,则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0,
    令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1,g(x)≥0,
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