浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数（i是虚数单位,）,则( )
A.1B.C.D.
2．已知向量,,若,则实数k的值为( )
A.3B.-1C.3或-1D.
3．已知,表示两个不同的平面,a,b,c表示三条不同的直线( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,则
4．已知,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．在中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c．若,,则( )
A.B.C.D.
6．为了得到函数的图象,可以把的图象( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
7．在某种药物实验中,规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为,若血液中药物含量会以每小时的速度减少,那么至少经过___个小时才会“药物失效”．（参考数据：）( )
A.4B.5C.6D.7
8．已知,是方程的两个实根,则( )
A.4B.3C.2D.1
二、多项选择题
9．已知,则( )
A.B.
C.D.
10．如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为,若小正方形的面积为1,大正方形的面积为5,则( )
A.每一个直角三角形的面积为1B.
C.D.
11．在平面直角坐标系中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,定义函数,则( )
A.是函数的一条对称轴B.函数是周期为的函数
C.D.若,则
三、填空题
12．已知集合,．若,则实数__________．
13．已知,则的最小值为___________．
14．一个呈直三棱柱的密闭容器,底面是边长为的正三角形,高为6,有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动,则小球能接触到的容器内壁的最大面积为____________．
四、解答题
15．设函数．
（1）判断函数在区间上的单调性,并用定义证明结论;
（2）若,求函数的值域．
16．如图,点P,Q分别是矩形的边,上的点,,．
（1）若,,求的取值范围;
（2）若P是的中点,,,,依次为边的2025等分点．求的值．
17．已知实数,设函数,且．
（1）求实数a,并写出的单调递减区间;
（2）若为函数的一个零点,求．
18．在三棱锥中,,其余各棱的长均为6,点E在棱上,,过点E的平面与直线垂直,且与,分别交于点F,G．
（1）求线段的长度;
（2）求二面角的余弦值;
（3）求点C到平面的距离．
19．已知函数,,的定义域均为R．定义：①若存在n个互不相同的实数,,,使得,则称与关于“维交换”;②若对任意,恒有,则称与关于“任意交换”．
（1）判断函数与是否关于“n维交换”,并说明理由;
（2）设,若存在函数,使得与关于“任意交换”,求b的值;
（3）设,若与关于“3维交换”,求实数k的值．
参考答案
1．答案：A
解析：,,
,
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意得 ,解得或3 ,经检验, 均满足要求.
故选：C.
3．答案：D
解析：A选项,若,则 或 ,A错误;
B选项,若,不能推出,B错误;
C 选项,若,则不能推出,C错误;
D选项,因为,,所以,
又,由面面垂直的判定定理,可得 ,D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：
5．答案：B
解析：由题意得,
由正弦定理得,即
解得.
6．答案：D
解析：将函数的图象向右平移个单位长度,
可得的图象,
故选：D.
7．答案：D
解析：设至少经过t个小时才会药物失效,
则,
即 ,
所以,
所以,
即至少经过6个小时才会药物失效.
故选：C.
8．答案：C
解析：,是方程 的两个实根,
则 ,
,
,
,
,
整理即得 ,则.
故选：C.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：BCD
解析：
12．答案：-1
解析：
13．答案：
解析：因为 , 所以 ,
所以,所以,
当且仅当 , 即时,等号成立,所以的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）函数在上单调递增;证明见解析
（2）
解析：（1）函数在上单调递增;
证明：任取,且,
则
因为,
所以,
所以,
得,
所以函数在上单调递增;
（2）因为,
则,,
所以,
由（1）的证明过程知,函数在上单调递减,
所以由复合函数单调性可得,
函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,
又,
显然,故,
所以函数的值域为：
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在矩形中,,
,即,
所以.
（2）取的中点E,连接,由,,,依次为边的2025等分点,
,
得,
所以.
17．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）函数,
由,得,而,则,
,
由,,得,
所以的单调递减区间是.
（2）由（1）知,,,
所以.
18．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）依题意,直线平面,而,平面,则,,
由,得,由为正三角形,得,则,,
又为正三角形,即,因此.
（2）取的中点M,连接,,则有,,
因此是二面角的平面角,显然,
由余弦定理得,
所以二面角的余弦值.
（3）由（2）知,平面,而平面,则平面平面,
在平面内过点A作于H,又平面平面,
于是平面,,
则点E到平面距离,
由（1）知的面积,,
,显然,,
则,,在中,,
,的面积,
设点C到平面的距离为h,由,得,
因此,
所以点C到平面的距离为.
19．答案：（1）与关于“1维交换”,理由见解析;
（2）0;
（3）.
解析：（1）函数与关于“1交换”,理由如下：
显然,,令,即,
解得,因此有唯一解,
所以与关于“1维交换”.
（2）依题意,对任意,恒有成立,
即对任意,存在函数,,
显然等式左边是关于x的4次多项式,则设,
于是,
由奇次项系数得,又,则,,解得,
因此存在,使得与关于“任意交换”,所以.
（3）令,依题意,函数在R上有3个零点,
显然,即是函数的零点,
当时,若,则,,即函数在时无零点,
若,则在上单调递增,
,函数在时只有1个零点,不符合题意,
因此,①当时,,
显然函数的图象恒过点,,
则当时,函数的图象开口向上,在时仅只一个零点,
当时,,在时没有零点,
②当时,,
显然函数的图象恒过点,
,当,即时,在时仅只一个零点,
当,即时,在时有2个零点,
当,即时,在时没有零点,
③当时,,
显然函数的图象恒过点,
当时,在时无零点,当时,在时有1个零点,
综上所述,当时,有3个零点,
所以当与关于“3维交换”时,.