2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={0,1,2}，B={x|1A. {2}B. {1,2}C. {0}D. {0,1,2}
2.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
3.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78”.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为( )
A. 10−00B. 20−00C. 30−00D. 40−00
4.已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是( )
A. 若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则α⊥β
B. 若l⊥m，m//α，则l⊥α
C. 若α∩β=l，m⊂α，l//m，则m//β
D. 若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m
5.已知a1，a2，…，an是单位平面向量，若对任意的1≤iA. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2C，当sinA的值最大时，sin2Bsin2C的值为( )
A. 2B. 1C. 12D. 14
7.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=2 2，AB=BC=2，二面角S−AC−B的正切值是 2，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是( )
A. 12π
B. 4π
C. 4 3π
D. 4 33π
8.已知函数f(x)=e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0，则下列结论正确的是( )
A. 函数y=f(x)−x有两个零点
B. 若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]
C. 若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=1
D. 若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若α的终边经过P(5k,12k)，k≠0，则sinα=1213
B. tan(−210°)=− 33
C. 若csα>0，则α为第一或第四象限角
D. 若角α和角β的终边关于y轴对称，则sin(π2+α)=−csβ
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则csAB. 若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解
C. 若csAcsBcsC>0，则△ABC为锐角三角形
D. 若a−c⋅csB=a⋅csC，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则( )
A. 若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为4 2+4
B. 当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为 5
C. 当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+4 2
D. 当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，线段PF长度最大值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2(其中e1，e2分别为x，y轴方向相同的单位向量)，则P的坐标为(x,y)，若P关于斜坐标系xOy的坐标为(2,−1)，则|OP|= ______
13.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数在[5π4,9π4]上至少存在两个最值点，则实数ω的取值范围是______．
14.在锐角△ABC中，sinA=2 55，它的面积为10，BC=4BD，E，F分别在AB、AC上，且满足|AD−xAB|≥|DE|，|AD−yAC|≥|DF|对任意x，y∈R恒成立，则DE⋅DF= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2csx,1)，b=(−cs(x+π3),12)，x∈[0,π2].
(1)若a//b，求x的值；
(2)记f(x)=a⋅b，若对于任意x1，x2∈[0,π2]，|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，求实数λ的最小值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a−ca+b=sinA−sinBsinC．
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的周长为4 3π，求△ABC周长的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg2(x2−1)−lg2(x−1)．
(1)证明：f(x)的定义域与值域相同．
(2)若∀x∈[3,+∞)，∀t∈(0,+∞)，f(x)+1t2−4t>m，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．
(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；
(Ⅱ)求二面角A−DF−B的正切值；
(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|，则称f(x)是“k−利普希兹条件函数”．
(1)判断函数y=2x+1，y=x是否为“2−利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数y=f(x)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤1．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.C
6.C
7.A
8.D
9.BD
10.ACD
11.ACD
12. 3
13.[54,32]∪[74,+∞)
14.−32
15.解：(1)由a//b，
则12×2csx=1×[−cs(x+π3)]，
即sinx= 3csx，
即tanx= 3，
又x∈[0,π2]，
则x=π3；
(2)f(x)=a⋅b=2csx[−cs(x+π3)]+12= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
又x∈[0,π2]，
则2x−π6∈[−π6,5π6]，
则f(x)∈[−12,1]，
又对于任意x1，x2∈[0,π2]，而|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，
则λ≥f(x)max−f(x)min=1−(−12)=32，
故实数λ的最小值为32．
16.解：(1)根据a−ca+b=sinA−sinBsinC，可得a−ca+b=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3．
(2)设△ABC外接圆的半径为R，则2πR=4 3π，解得R=2 3，外接圆直径为4 3，
因为B=π3，所以b=2RsinB=4 3sinπ3=6，
结合余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得36=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3(a+c2)2，
整理得(a+c)2≤144，a+c≤12，当且仅当a=c=6时，等号成立．
又因为a+c>b=6，可得6所以a+b+c∈(12,18]，即△ABC的周长的取值范围为(12,18]．
17.解：(1)证明：由x2−1>0x−1>0，得x>1，
所以f(x)的定义域为(1,+∞)．
f(x)=lg2x2−1x−1=lg2(x+1)，
因为f(x)=lg2(x+1)在(1,+∞)上单调递增．
所以f(x)>f(1)=lg22=1，
所以f(x)的值域为(1,+∞)，
所以f(x)的定义域与值域相同．
(2)由(1)知f(x)=lg2(x+1)在(3,+∞)上单调递增，
所以当x∈[3,+∞)时，f(x)min=f(3)=2．
设g(t)=1t2−4t=(1t−2)2−4，
当1t=2，即t=12时，g(t)取得最小值，且最小值为−4．
因为∀x∈[3,+∞)，∀t∈(0,+∞)，f(x)+1t2−4t>m，
所以m即m的取值范围为(−∞,−2)．
18.解：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，
因为正方形ABCD，所以O为AC中点，
又矩形ACEF，M为EF的中点，
所以 EM//OA，且EM=OA，
所以OAME为平行四边形，
所以 AM//OE，
又 AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以 AM//平面BDE；
(Ⅱ)以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C−xyz，

则A(2,2,0)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，F(2,2,1)，
则DB=(−2,2,0),DF=(0,2,1)，
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
由DB⋅n=0DF⋅n=0，得−2x+2y=02y+z=0，
则n=(1,1,−2)，
易知平面ADF的法向量m=AB=(−2,0,0)，
所以cs=n⋅m|n|⋅|m|=−1 6=− 66，
由图可知二面角A−BF−D为锐角，记为θ，
所以csθ= 66，
即tanθ=sinθcsθ= 1−16 66= 5，
所以求二面角A−DF−B的正切值为 5．
(Ⅲ)设M(x0,x0,1)，则AM=(x0−2,x0−2,1)，
若AM⊥平面BDF则AM//n，
即(x0−2,x0−2,1)//(1,1,−2)，
所以x0−2=1−2，解得x0=32，
所以M(32,32,1)，
所以 EMEF=32 22 2=34．
19.解：(1)由题知，函数y=f(x)=2x+1的定义域为R，
所以|f(x1)−f(x2)|−2|x1−x2|=|2x1−2x2|−2|x1−x2|=0，
即|f(x1)−f(x2)|=2|x1−x2|，
所以函数y=2x+1是“2−利普希兹条件函数“；
函数y=g(x)=x的定义域为R，
所以|g(x1)−g(x2)|−2|x1−x2|=|x1−x2|−2|x1−x2|=−|x1−x2|<0，(x1≠x2)，
所以|g(x1)−g(x2)|<2|x1−x2|，
所以函数y=x是“2−利普希兹条件函数“；
(2)证明：若x1，x2∈[0,2](x1≠x2)，
当|x1−x2|≤1，则|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|≤1；
若|x1−x2|>1，设0≤x1<1则|f(x1)−f(x2)|=|f(x1)−f(0)+f(2)−f(x2)|≤|f(x1)−f(0)|+|f(2)−f(x2)|
≤|x1|+|2−x2|=x1+2−x2<1，
所以对任意的x1，x2∈[0,2](x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤1，
因为函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的周期函数，
所以对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都存在p1，p2∈[0,2]，使得f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，
所以f(x1)−f(x2)|=|f(p1)−f(p2)|≤1，
综上可得对定义域内任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤1．

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