2023-2024学年浙江省杭州市西湖高级中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市西湖高级中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={−2,0,1,3,5}，则A∩B=( )
A. {0,3}B. {0,1,3}C. {1,3}D. {−2,1,3}
2.若i为虚数单位，复数z=1+ii，则z−=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i
3.已知a=(2,3)，2a+b=(6,2)，则b=( )
A. (2,−4)B. (−2,4)C. (2,−12)D. (−2,12)
4.如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若B′A′=B′O′=2，那么原三角形ABO的周长是( )
A. 4 2+2
B. 2+2 2+2 3
C. 4 2+4
D. 4 2+8
5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为π2的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
6.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|，且|a−2b|=|a+4b|，则a,b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ax+1，若f(−3)=8，则不等式f(x)>14的解集为( )
A. (−∞,−512)∪(0,14)B. (−512,0)∪(0,14)
C. (−∞,−512)∪(14,+∞)D. (−512,0)∪(14,+∞)
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|OA|=|AB|，则向量AB在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. −34BC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若|z|=1，则z=±1或z=±i
B. 若点Z的坐标为(−1,1)，则z−对应的点在第三象限
C. 若z= 3−2i，则z的模为7
D. 若1≤|z|≤ 2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，则下列关于f(x)的结论正确的是( )
A. f(x)=2sin(12x+π8)
B. f(x)在区间[π,2π]上单调递减
C. f(x)的图象关于直线x=−π4对称
D. f(x)的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数g(x)=2sin(12x)图象
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 直三棱柱的侧面积是4+2 3
B. 直三棱柱的外接球表面积是4π
C. 三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关
D. AE+EC1的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lg2x,x>0f(x+2),x≤0，则f(−7)= ______．
13.已知D为△ABC的边AC上一点，AD=3DC，AB= 14，∠ADB=2∠DBC=π3，则sin∠ABC= ______．
14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=EF，则AF⋅BC的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知i是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数z=(m2−3m)+(m2−5m+6)i分别满足下列条件？
(1)z为实数；
(2)z为虚数；
(3)z为纯虚数．
16.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．
(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；
(2)若|AB|=6，∠BAD=60°，求AC⋅EF．
17.(本小题15分)
已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 3，D为BC的中点；
(1)求该三棱柱的体积与表面积；
(2)求三棱锥D−AB1C1的内切球半径．
18.(本小题17分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsinA=atanB；
(1)求B；
(2)若a+c=2b，试判断△ABC的形状．
(3)若b= 7，求△ABC的面积的最大值．
19.(本小题17分)
对于函数f1(x)，f2(x)，ℎ(x)，如果存在实数a，b，使得ℎ(x)=a⋅f1(x)+b⋅f2(x)，那么称函数ℎ(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数．
(1)已知f1(x)=sinx，f2(x)=csx，ℎ(x)=sin(x−π6)，是否存在实数a，b，使得ℎ(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数？若不存在，试说明理由；
(2)当a=b=1，ℎ(x)=ex时，是否存在奇函数f1(x)，偶函数f2(x)，使得ℎ(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数？若存在，请求出f1(x)与f2(x)的解析式，若不存在，请说明理由；
(3)设函数f1(x)=ln(x2+6x+5)，f2(x)=ln(2x−m)，a=1，b=−1，生成函数ℎ(x)，若函数ℎ(x)有唯一的零点，求实数m的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
9.BD
10.AB
11.ACD
12.0
13.2 77
14.14
15.解：(1)复数z=(m2−3m)+(m2−5m+6)i是实数，则m2−5m+6=0，
所以m=2或 m=3．
(2)复数z=(m2−3m)+(m2−5m+6)i是虚数，则m2−5m+6≠0，
所以m≠2且m≠3．
(3)复数z=(m2−3m)+(m2−5m+6)i是纯虚数，则m2−3m=0m2−5m+6≠0，
所以m=0．
16.解：(1)因为在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．
故EF=EC+CF=12AD−23AB，
故x=−23,y=12，所以3x+2y=−1．
(2)显然AC=AB+AD，
所以AC⋅EF=(AB+AD)⋅(12AD−23AB)
=−23AB2+12AD2−16AB⋅AD……①，
因为菱形ABCD，且|AB|=6，∠BAD=60°，故|AD|=6，=60°．
所以AB⋅AD=6×6×cs60°=18．
故①式=−23×62+12×62−16×18=−9．
故AC⋅EF=−9．
17.解：(1)该三棱柱的体积V=S△ABC⋅AA1=12×2×2× 32× 3=3，
表面积S=2S△ABC+3SAA1B1B=2×12×2×2× 32+3×2× 3=8 3；
(2)VD−AB1C1=VB−AB1C1=VC1−ABB1=13×12× 3×2× 3=1，
S△AB1D=S△AC1D=S△B1C1D=12× 3×2= 3；
∵AB1=AC1= 22+( 3)2= 7，B1C1=2，
∴cs∠B1AC1=7+7−42× 7× 7=57，则sin∠B1AC1=2 67，
∴S△AB1C1=12× 7× 7×2 67= 6，
则三棱锥D−AB1C1的表面积为3 3+ 6，
设三棱锥D−AB1C1的内切球半径为r，则13×(3 3+ 6)×r=1，
即r=3 3− 67．
18.解：(1)因为2bsinA=atanB，由正弦定理可得2sinBsinA=sinAtanB=sinAsinBcsB，
因为A，B∈(0,π)，则sinA>0，sinB>0，可得2=1csB，
即csB=12，所以B=π3．
(2)由(1)可知：B=π3，
由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac，
又因为a+c=2b，即b=a+c2，
可得(a+c2)2=a2+c2−ac，整理得(a−c)2=0，即a=c，
所以△ABC为等边三角形．
(3)由(2)可知：b2=a2+c2−ac≥ac，即ac≤7，
当且仅当a=c= 7时，等号成立，
所以△ABC的面积的最大值为12×7× 32=7 34．
19.解：(1)因为ℎ(x)=sin(x−π6)=sinxcsπ6−csxsinπ6= 32sinx−12csx= 32f1(x)−12f2(x)，
取a= 32,b=−12，
故ℎ(x)=af1(x)+bf2(x)，
故存在实数a= 32,b=−12，使得ℎ(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数；
(2)若存在，则f1(x)+f2(x)=ex，故f1(−x)+f2(−x)=ex，
所以−f1(x)+f2(x)=ex，
故f1(x)=ex−e−x2,f2(x)=ex+e−x2；
(3)依题意可得，ℎ(x)=ln(x2+6x+5)−ln(2x−3a)，

令ℎ(x)=0，可得x2+6x+5>0x2+6x+5=2x−3a，即x2+4x+5=−3a(x<−5或x>−1)，
令g(x)=x2+4x+5(x<−5或x>−1)，
结合图象可知，
当2<−3a≤10时，y=g(x)的图象与直线y=−3a只有一个交点，
所以实数a的取值范围为[−103,−23)．