新高考数学二轮复习热点7-1 直线与圆综合（10题型 满分技巧 限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
满分技巧
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线方程及过定点问题】
满分技巧
1、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限
【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知的三个顶点分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）已知平行四边形，求点的坐标.
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．过定点过定点
B．点的轨迹方程为
C．点到点和点距离之和的最大值为
D．设，则的最大值为
【题型3 直线的平行与垂直问题】
满分技巧
1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直线的距离问题及应用】
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
2、平行垂直直线一般方程的设法：
（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为
（2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 直线的对称问题及应用】
满分技巧
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
满分技巧
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足Errr!
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有Errr!
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
满分技巧
求圆的方程的方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆关于直线对称，则 ．
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
满分技巧
1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B． C． D．
满分技巧
1、直线与圆相交时的弦长求法：
（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：
（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
（2）当时，求直线的方程.
【题型9 两圆的公共弦问题】
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆：和圆：
满分技巧
两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【题型10 两圆的公切线问题】
【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
满分技巧
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。
（建议用时：60分钟）
1．（2024·浙江·校联考一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
3．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
8．（2023·江苏苏州·高三统考期中）圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）（多选）已知是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若， B．若，直线的方程为
C．直线经过一个定点 D．弦的中点在一个定圆上
10．（2024·云南昆明·统考一模）（多选）已知圆，直线，点在直线上运动，
过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则（ ）
A．直线的斜率为1 B．四边形的面积为
C． D．
11．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）已知直线：与直线：，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则或或 B．若，则或
C．直线和直线均与圆相切 D．直线和直线的斜率一定都存在
12．（2024·江苏·高三统考期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
13．（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ．
14．（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）设直线的方程为.
（1）求证：不论a为何值，直线必过一定点P；
（2）若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
16．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.