新高考数学二轮复习热点3-2 三角函数的图象与性质（10题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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三角函数的图象与性质是高考的热点，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。
【题型1 三角函数的识图问题】
【例1】（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由图可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
观察各选项可知，本题考虑 SKIPIF 1 < 0 即可，则 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【变式1-1】（2024·天津宁河·高三统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图像关于原点对称，故选项A和B错误，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C错误，选项D正确，故选：D.
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故可排除ABD，故选：C
【变式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，对应的图象为图 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对应的图象为图 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且零点为 SKIPIF 1 < 0 ，对应的图象为图 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且零点为0和 SKIPIF 1 < 0 ，对应的图象为图4.故选：A.
【变式1-4】（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，排除C，故选B．
解法二：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，排除A，C；
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，排除D，故选：B．
【题型2 由三角函数的图象求解析式】
【例2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由图可知，点 SKIPIF 1 < 0 在图象上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的增区间上，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由五点作图法可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
【变式2-1】（2024·四川攀枝花·统考二模）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式2-2】（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值分别是（ ）
A．2， SKIPIF 1 < 0 B．2， SKIPIF 1 < 0 C．2， SKIPIF 1 < 0 D．4， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则由图像知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入解析式得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由图象可知2为函数在原点右边的第一个最大值点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不合要求，舍去，故选：A
【变式2-4】（2024·河南信阳·统考二模）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的值为3 B． SKIPIF 1 < 0 的值为2 C． SKIPIF 1 < 0 的值可以为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的值可以为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可知 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
结合图像可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为函数下降零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，故C错误，D正确；故选：AD.
【题型3 三角函数的图象变换问题】
【例3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】因为把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，
就能得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，故选：B
【变式3-1】（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】依题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
得 SKIPIF 1 < 0 的图象，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式3-2】（2024·福建·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度 B．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度 D．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 的图象，故选：C
【变式3-3】（2024·天津和平·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则将 SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度变为 SKIPIF 1 < 0 ，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），
得到的图象所表示的函数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式3-4】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，可以将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度 B．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度 D．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，故选：B.
【题型4 三角函数的单调性及应用】
【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内不单调，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内不单调，故A错误；
对于选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内不单调，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内不单调，故B错误；
对于选项C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，故C正确；
对于选项D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，故D错误；故选：C.
【变式4-1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意得，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式4-2】（2024·山东威海·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-3】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由题知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故须使 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
【题型5 三角函数的周期性及应用】
【例5】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）下列函数中，以 SKIPIF 1 < 0 为周期的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】对于A，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
对于B，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于C，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据图象变换可知函数 SKIPIF 1 < 0 最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 也是它的一个周期，故选项C正确；
对于D，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象：
根据图象可知该函数不是周期函数，故选项D错误，故选：C．
【变式5-1】（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以，函数的最小正周期为： SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式5-2】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由诱导公式可知， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不恒相等，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-3】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）“ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，即充分性不成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立；
所以“ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，故选：B.
【变式5-4】（2024·山东德州·高三统考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象大致如图，则 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可排除A，D；
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若选B，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不为整数，排除B项；
若选C，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，排除C项，故选：C.
【题型6 三角函数的奇偶性及应用】
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；即充分性成立；
若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立；
综上所述：“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的充要条件，故选：C.
【变式6-1】（2024·河南·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
所以充分性成立；
SKIPIF 1 < 0 为偶函数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不能得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以必要性不成立.
故“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A
【变式6-2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）若函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】若0在定义域内，由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ；
若0不在定义域内，由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无意义，得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
【变式6-3】（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该函数是偶函数，符合题意，故选：A
【变式6-4】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
【变式6-5】（2023·北京海淀·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对A：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
对B：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，B正确；
对C：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是偶函数，故C错误；
对D：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；故选：B
【题型7 三角函数的对称性及应用】
【例7】（2024·重庆·高三统考期末）（多选）下列函数中，其图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A不是；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，B是；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C是；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，正切值不存在，D是.故选：BCD
【变式7-1】（2024·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称”是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称时，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以“函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称”是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式7-2】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于原点中心对称，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于原点中心对称,
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式7-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式7-4】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型8 三角函数的最值问题】
【例8】（2022·河南·高三校联考专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的一个周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
【变式8-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故选：C.
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）（多选）对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为4 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为4 D． SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】对于A中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D中，由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据对勾函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，故选：BD.
【变式8-3】（2024·江西赣州·高三南康中学校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个最大值和一个最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 得，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式8-4】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在最大值，但不存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在最大值，但不存在最小值，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
只需满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，
则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【题型9 三角函数零点综合】
【例9】（2024·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象所有交点的横坐标之和为 ．
【答案】10
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．
由于 SKIPIF 1 < 0 的图象和 SKIPIF 1 < 0 的图象都关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以先考虑两个图象在 SKIPIF 1 < 0 上的情形，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以可作出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象和 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
因此所有交点的横坐标之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有2个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【变式9-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有三个不同的零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，
要想 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有三个不同的零点，
若 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
若 SKIPIF 1 < 0 ，无解，故选：A
【变式9-3】（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有4个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有4个零点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式9-4】（2024·辽宁·高三校联考期末）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 恰有5个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数为2，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 恰有5个零点，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数为3.
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：BC
【题型10 三角函数图象性质综合】
【例10】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像如图所示，则（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点
C． SKIPIF 1 < 0 D．将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象
【答案】ABC
【解析】由图知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为图象过 SKIPIF 1 < 0 ，
且为下降零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
结合图象 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结合正弦函数图像可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故A正确；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
结合正弦函数图像可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点，故B正确；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，故选：ABC.
【变式10-1】（2024·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的部分图象如图所示，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的所有实数解的和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入解析式，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
画出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的函数图象，如下：
共有4个解，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【变式10-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，纵坐标不变，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）观察图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标不变，
得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式10-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式和单调递增区间；
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题知： SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式10-4】（2024·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 图象的相邻两条对称轴间的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，当 SKIPIF 1 < 0 时，求方程 SKIPIF 1 < 0 的所有根的和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由题意可得： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 图象的相邻两条对称轴间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
SKIPIF 1 < 0 的两个根 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的根 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内所有根的和为 SKIPIF 1 < 0 .
（建议用时：60分钟）
1．（2023·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ )
A． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
C． SKIPIF 1 < 0 的一个零点为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的图象可以由 SKIPIF 1 < 0 图像左移 SKIPIF 1 < 0 得到
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，是对称中心，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 的图象左移 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
D正确，故选：D
2．（2022·全国·高三校联考专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
3．（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
4．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，向左平移 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．（2023·青海·高三校联考阶段练习）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对比选项可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
6．（2023·福建福州·高三校联考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 仅有两条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上仅有两条对称轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
由函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
7．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称．
又且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
8．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）设函数 SKIPIF 1 < 0 若存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可取 SKIPIF 1 < 0 要使存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
需使， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
9．（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C.
10．（2023·江苏南京·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有两个最大值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
11．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴 D． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】ACD
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0
对于A， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故B不正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称轴，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，故D正确．故选：ACD．
12．（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）（多选）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为奇函数 B． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 存在零点 D． SKIPIF 1 < 0 存在极值点
【答案】BCD
【解析】对A，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，A错误；
对B，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对C，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，C正确；
对D，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，D正确；故选:BCD.
13．（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考期中）（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 既是奇函数也是周期函数 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称 D． SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称
【答案】ACD
【解析】对于A选项，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数也是周期函数，A对；
对于B选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，C对；
对于D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，D对.故选：ACD.
14．（2023·安徽·高三校联考期末）（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称 D． SKIPIF 1 < 0 为偶函数
【答案】AC
【解析】对于A选项，由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，由A选项可知， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，B错；
对于C选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，C对；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是非奇非偶函数，D错.故选：AC.
15．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又函数图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2024·山东临沂·高三统考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
则区间 SKIPIF 1 < 0 的长度是周期的 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，
所以当区间 SKIPIF 1 < 0 关于其对称轴对称时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
其对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最值±4，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024·江苏常州·高三校考期末）将余弦函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的纵坐标伸长到顶原来的 SKIPIF 1 < 0 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 可化为： SKIPIF 1 < 0 ，
则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不同的解可转化为：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函
SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上有两个交点.
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ,作出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象.
由图，要使函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与其有两个交点，须使 SKIPIF 1 < 0 ，即实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
18．（2023·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
（3）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由图知： SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间上的零点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 .
又图象过(0，1)点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为： SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
故： SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023·河南·高三校联考期中）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有4条对称轴，且函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值以及 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，将 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，再将所得图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
再将所得图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 的图象．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的任意两点， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由题知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
等价于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .满分技巧
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
（3）找特殊值： = 1 \* GB3 ①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值； = 2 \* GB3 ②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
满分技巧
已知 SKIPIF 1 < 0 的部分图象求其解析式时， SKIPIF 1 < 0 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，常用如下两种方法：
（1）由 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；确定 SKIPIF 1 < 0 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的符号或对 SKIPIF 1 < 0 的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。
满分技巧
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
满分技巧
1、求三角函数单调区间的2种方法
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
2、已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq \f(1,4)周期列不等式(组)求解。
满分技巧
周期的计算公式：
函数的周期为，
函数的周期为求解.
满分技巧
与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
满分技巧
三角函数对称性问题的2种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；
2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq \f(kπ,ω)－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；
（2）函数y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq \f(kπ,ω)－eq \f(φ,ω)，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z
满分技巧
三角函数值域或最值的3种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)