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所属成套资源：2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点8-2概率与统计综合10题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点8-2概率与统计综合10题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点8-2 概率与统计综合
概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查。题量通常为“两小一大”，有时也“三小一大”或“一小一大”；选择题、填空题考查全面，解答题重点考查概率统计主干知识，以图表信息、古典概型、常见概率分布，回归分析，独立性检验、样本估计总体、分布列和数学期望为主要考查内容，关注学科知识的综合性，常与分段函数、二次函数、导数、数列、最值问题等相结合进行综合考查。
【题型1 古典概型的计算】
【例1】（2024·四川·校联考一模）一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动，其中37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·湖南岳阳·高三岳阳一中校考开学考试）四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·河南·高三专题练习）“天问一号”中的天问是中国行星探测任务的名称，它的名字起源于屈原的《天问》，想要表达的是中华民族对追求真理的执着，对科技创新的不懈．中国行星探测任务被命名为“天问系列”是在2020年4月24日，首次火星探测任务的探测器则被命名为“天问一号”．2020年7月23日，中午12时41分，长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在中国文昌航天发射场点火升空．若从“天，问，一，号”，这4个字中任取一个字，再从“4，24，7，23”这4个数字中任取2个数字，组成一个“系列组”，则该“系列组”中包含“天问一号”命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·广东·高三统考期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 随机抽样与计算】
【例2】（2024·重庆·高三校联考阶段练习）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【变式2-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【变式2-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【变式2-3】（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是（ ）
A．24是样本容量
B．120名社团成员中男生有50人
C．高二与高三年级的社团成员共有90人
D．高一年级的社团成员中女生最多有30人
【变式2-4】（2024·陕西·校联考一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【题型3 用样本估计总体】
【例3】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【变式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测）已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．1， C．， D．，
【变式3-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为102
【变式3-3】（2024·陕西西安·统考一模）某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的中位数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【变式3-4】（2024·四川·高三西充中学校联考期末）下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ）
A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D．这10城市地铁运营线路条数的极差是12
【题型4 百分位数的计算】
【例4】（2024·广东·高三校联考开学考试）某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（ ）
A．74 B．78 C．83 D．91
【变式4-1】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这组数据的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
【变式4-4】（2024·全国·校联考模拟预测）已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为，中位数为，第75分位数为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 事件关系的判断】
【例5】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
【变式5-1】（2024·广东·高三学业考试）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
【变式5-2】（2024·广东湛江·统考一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【变式5-4】（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立 B． C．A与相互独立 D．与相互独立
【题型6 线性回归分析】
【例6】（2024·河南·高三校联考开学考试）（多选）已知变量之间的经验回归方程为，且变量的数据如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．变量之间负相关 B．
C．当时，可估计的值为11 D．当时，残差为
【变式6-1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分与骑行用时（单位：小时）如下表：
由上表数据得到的正确结论是（ ）
参考数据：
参考公式：相关系数.
A．身体综合指标评分与骑行用时正相关
B．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较弱
C．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较强
D．身体综合指标评分与骑行用时的关系不适合用线性回归模型拟合
【变式6-2】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数；
参考数据：，．
【变式6-4】（2024·广东广州·统考二模）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【题型7 独立性检验】
【例7】（2024·广东广州·统考二模）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与独立
B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与不独立
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
【变式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：
计算可知，根据小概率值______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【变式7-2】（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ）
参考公式：
临界值参照表：
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨
【变式7-4】（2024·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
附：，其中.
（1）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（2）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【题型8 二项分布】
【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
【变式8-1】（2022·全国·高三专题练习）某校高三年级数学组长为了了解学生的数学学习情况，对其在市二诊考试中的数学成绩（满分150分）进行分析，从全年级数学成绩中随机抽取了15人的成绩作为样本，得到如图所示的茎叶图．若成绩不低于120分，则称为数学成绩优良．
（1）从这15人的成绩中随机抽取3人，求至多有1人数学成绩优良的概率；
（2）以这15人的成绩中成绩优良的频率作为概率，估计该校高三年级在市三诊、省一、二诊未来3次诊断考试数学成绩优良的人数，从而估计该校今年高考数学成绩．记随机变量为未来这3次考试中优良学生的人数，求的分布列和数学期望．
【变式8-2】（2022·河南·高三专题练习）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制赛规，即一场比赛全程最多打五局，比赛双方只要有一个队先胜三局，则比赛就此结束，且该队为获胜方．根据以往大量的赛事记录可知甲、乙两队在比赛中每局获胜的概率分别为．
（1）若在首局比赛中乙队以的比分暂时领先，求最后甲队、乙队各自获胜的概率；
（2）求乙队以的比分获胜的概率；
（3）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望．
【变式8-3】（2024·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【变式8-4】（2024·北京昌平·高三统考期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明
【题型9 超几何分布】
【例9】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列及数学期望.
【变式9-1】（2024·辽宁·高三校联考期末）某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位销售，已知这批产品中每箱都有废品.每箱的废品率只有或者两种可能，且两种可能的产品市场占有率分别为.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数）
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品
①求此箱是废品率为的概率；
②判断此箱是否可以购买，并说明理由.
【变式9-2】（2024·安徽黄山·统考一模）某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、、．
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数；
（2）从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望．
【变式9-3】（2024·浙江湖州·高三统考期末）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
【题型10 正态分布】
【例10】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
【变式10-1】（2023·广东肇庆·广东肇庆中学校考模拟预测）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 .
【变式10-2】（2024·江苏·高三统考期末）随机变量，若，，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
【变式10-3】（2024·浙江金华·高三统考期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【变式10-4】（2024·湖南常德·高三统考期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
（建议用时：60分钟）
1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，名参赛者的成绩(单位：个)分别是、、、、、、、、、，则这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
3．（2024·浙江·高三镇海中学校联考开学考试）有一组数据：，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
4．（2024·湖南·高三校联考开学考试）有一组样本数据由5个连续的正整数组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，则（ ）
A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差
5．（2024·重庆·高三统考期末）对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ）
A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数
6．（2024·全国·模拟预测）如图为一组数据的散点图，已知该组数据的平均数为5，方差为，去掉，，，这4个数据后，所得数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据．
通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（ ）
附：，其中．
A．55 B．57 C．58 D．60
9．（2024·广西南宁·高三南宁二中校考开学考试）随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则.
A．23 B．46 C．159 D．317
11．（2024·广东·高三统考阶段练习）在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东梅州·统考一模）（多选）某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男性平均体重为63千克；女性平均体重为54千克.则下列说法不正确的是（ ）
A．抽查的样本中女职工人数为60 B．该单位男职工的体重普遍比女职工较重
C．估计该单位职工平均体重为58.5 D．每一位男或女职工被抽中的可能性均为
13．（2024·四川内江·高三内江市第一中学校考阶段练习）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
（1）从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
（2）从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
14．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）2021年是中国共产党建党100周年，为引导和带动青少年重温中国共产党的百年光辉历程，某市组织全市中学生参加中国共产党百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生得分的中位数（保留小数点后两位有效数字）；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和均值；
（3）用样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人，若这2000名学生的得分相互独立，试问得分高于90分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量，则，．
15．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响.
（1）分别求小张，小王答对题目数的分布列；
（2）若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围.满分技巧
古典概型中基本事件的探求方法
1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；
3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.
满分技巧
1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。
2、分层随机抽样的相关计算关系：
（1）eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq \x\t(ω)＝eq \f(m,m＋n)＋eq \f(n,m＋n)＝eq \f(M,M＋N)＋eq \f(N,M＋N).
满分技巧
样本估计总体的常用结论：
1、如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是；
2、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。
3、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为
4、如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
5、如果一组数的方差为，则一组数的方差为。
满分技巧
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
满分技巧
判断互斥、对立事件的两种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
满分技巧
线性回归分析问题的类型及解题方法
1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；
2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；
4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。
5
6
8
12
14
10
8
6
5
1
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时小时）
9.5
8.8
7.8
7
6.1
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额／万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
满分技巧
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
日落云里走
夜晚天气
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
实验组
合计
满分技巧
独立重复试验与二项分布
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
满分技巧
超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
2、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
满分技巧
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P(μ－σ（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X喜欢观看
不喜欢观看
男生
女生
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点8-2 概率与统计综合
概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查。题量通常为“两小一大”，有时也“三小一大”或“一小一大”；选择题、填空题考查全面，解答题重点考查概率统计主干知识，以图表信息、古典概型、常见概率分布，回归分析，独立性检验、样本估计总体、分布列和数学期望为主要考查内容，关注学科知识的综合性，常与分段函数、二次函数、导数、数列、最值问题等相结合进行综合考查。
【题型1 古典概型的计算】
【例1】（2024·四川·校联考一模）一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动，其中37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·湖南岳阳·高三岳阳一中校考开学考试）四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·河南·高三专题练习）“天问一号”中的天问是中国行星探测任务的名称，它的名字起源于屈原的《天问》，想要表达的是中华民族对追求真理的执着，对科技创新的不懈．中国行星探测任务被命名为“天问系列”是在2020年4月24日，首次火星探测任务的探测器则被命名为“天问一号”．2020年7月23日，中午12时41分，长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在中国文昌航天发射场点火升空．若从“天，问，一，号”，这4个字中任取一个字，再从“4，24，7，23”这4个数字中任取2个数字，组成一个“系列组”，则该“系列组”中包含“天问一号”命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·广东·高三统考期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 随机抽样与计算】
【例2】（2024·重庆·高三校联考阶段练习）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【变式2-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【变式2-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【变式2-3】（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是（ ）
A．24是样本容量
B．120名社团成员中男生有50人
C．高二与高三年级的社团成员共有90人
D．高一年级的社团成员中女生最多有30人
【变式2-4】（2024·陕西·校联考一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【题型3 用样本估计总体】
【例3】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【变式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测）已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．1， C．， D．，
【变式3-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为102
【变式3-3】（2024·陕西西安·统考一模）某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的中位数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【变式3-4】（2024·四川·高三西充中学校联考期末）下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ）
A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D．这10城市地铁运营线路条数的极差是12
【题型4 百分位数的计算】
【例4】（2024·广东·高三校联考开学考试）某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（ ）
A．74 B．78 C．83 D．91
【变式4-1】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这组数据的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
【变式4-4】（2024·全国·校联考模拟预测）已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为，中位数为，第75分位数为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 事件关系的判断】
【例5】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
【变式5-1】（2024·广东·高三学业考试）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
【变式5-2】（2024·广东湛江·统考一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【变式5-4】（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立 B． C．A与相互独立 D．与相互独立
【题型6 线性回归分析】
【例6】（2024·河南·高三校联考开学考试）（多选）已知变量之间的经验回归方程为，且变量的数据如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．变量之间负相关 B．
C．当时，可估计的值为11 D．当时，残差为
【变式6-1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分与骑行用时（单位：小时）如下表：
由上表数据得到的正确结论是（ ）
参考数据：
参考公式：相关系数.
A．身体综合指标评分与骑行用时正相关
B．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较弱
C．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较强
D．身体综合指标评分与骑行用时的关系不适合用线性回归模型拟合
【变式6-2】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数；
参考数据：，．
【变式6-4】（2024·广东广州·统考二模）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【题型7 独立性检验】
【例7】（2024·广东广州·统考二模）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与独立
B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与不独立
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
【变式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：
计算可知，根据小概率值______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【变式7-2】（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ）
参考公式：
临界值参照表：
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨
【变式7-4】（2024·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
附：，其中.
（1）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：
（2）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【题型8 二项分布】
【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
【变式8-1】（2022·全国·高三专题练习）某校高三年级数学组长为了了解学生的数学学习情况，对其在市二诊考试中的数学成绩（满分150分）进行分析，从全年级数学成绩中随机抽取了15人的成绩作为样本，得到如图所示的茎叶图．若成绩不低于120分，则称为数学成绩优良．
（1）从这15人的成绩中随机抽取3人，求至多有1人数学成绩优良的概率；
（2）以这15人的成绩中成绩优良的频率作为概率，估计该校高三年级在市三诊、省一、二诊未来3次诊断考试数学成绩优良的人数，从而估计该校今年高考数学成绩．记随机变量为未来这3次考试中优良学生的人数，求的分布列和数学期望．
【变式8-2】（2022·河南·高三专题练习）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制赛规，即一场比赛全程最多打五局，比赛双方只要有一个队先胜三局，则比赛就此结束，且该队为获胜方．根据以往大量的赛事记录可知甲、乙两队在比赛中每局获胜的概率分别为．
（1）若在首局比赛中乙队以的比分暂时领先，求最后甲队、乙队各自获胜的概率；
（2）求乙队以的比分获胜的概率；
（3）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望．
【变式8-3】（2024·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【变式8-4】（2024·北京昌平·高三统考期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明
【题型9 超几何分布】
【例9】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列及数学期望.
【变式9-1】（2024·辽宁·高三校联考期末）某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位销售，已知这批产品中每箱都有废品.每箱的废品率只有或者两种可能，且两种可能的产品市场占有率分别为.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数）
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品
①求此箱是废品率为的概率；
②判断此箱是否可以购买，并说明理由.
【变式9-2】（2024·安徽黄山·统考一模）某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、、．
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数；
（2）从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望．
【变式9-3】（2024·浙江湖州·高三统考期末）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
【题型10 正态分布】
【例10】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
【变式10-1】（2023·广东肇庆·广东肇庆中学校考模拟预测）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 .
【变式10-2】（2024·江苏·高三统考期末）随机变量，若，，则（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
【变式10-3】（2024·浙江金华·高三统考期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【变式10-4】（2024·湖南常德·高三统考期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
（建议用时：60分钟）
1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，名参赛者的成绩(单位：个)分别是、、、、、、、、、，则这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
3．（2024·浙江·高三镇海中学校联考开学考试）有一组数据：，去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据.与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
4．（2024·湖南·高三校联考开学考试）有一组样本数据由5个连续的正整数组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，则（ ）
A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差
5．（2024·重庆·高三统考期末）对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ）
A．平均数，中位数 B．平均数，众数 C．中位数，平均数 D．中位数，众数
6．（2024·全国·模拟预测）如图为一组数据的散点图，已知该组数据的平均数为5，方差为，去掉，，，这4个数据后，所得数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据．
通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（ ）
附：，其中．
A．55 B．57 C．58 D．60
9．（2024·广西南宁·高三南宁二中校考开学考试）随机变量服从正态分布，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则.
A．23 B．46 C．159 D．317
11．（2024·广东·高三统考阶段练习）在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东梅州·统考一模）（多选）某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男性平均体重为63千克；女性平均体重为54千克.则下列说法不正确的是（ ）
A．抽查的样本中女职工人数为60 B．该单位男职工的体重普遍比女职工较重
C．估计该单位职工平均体重为58.5 D．每一位男或女职工被抽中的可能性均为
13．（2024·四川内江·高三内江市第一中学校考阶段练习）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
（1）从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
（2）从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
14．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）2021年是中国共产党建党100周年，为引导和带动青少年重温中国共产党的百年光辉历程，某市组织全市中学生参加中国共产党百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生得分的中位数（保留小数点后两位有效数字）；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，按比例用分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和均值；
（3）用样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取2000人，若这2000名学生的得分相互独立，试问得分高于90分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量，则，．
15．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响.
（1）分别求小张，小王答对题目数的分布列；
（2）若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围.满分技巧
古典概型中基本事件的探求方法
1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；
3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.
满分技巧
1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。
2、分层随机抽样的相关计算关系：
（1）eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq \x\t(ω)＝eq \f(m,m＋n)＋eq \f(n,m＋n)＝eq \f(M,M＋N)＋eq \f(N,M＋N).
满分技巧
样本估计总体的常用结论：
1、如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是；
2、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。
3、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为
4、如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
5、如果一组数的方差为，则一组数的方差为。
满分技巧
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
满分技巧
判断互斥、对立事件的两种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
满分技巧
线性回归分析问题的类型及解题方法
1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；
2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；
4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。
5
6
8
12
14
10
8
6
5
1
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时小时）
9.5
8.8
7.8
7
6.1
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额／万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
满分技巧
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
日落云里走
夜晚天气
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
实验组
合计
满分技巧
独立重复试验与二项分布
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
满分技巧
超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
2、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
满分技巧
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P(μ－σ
不喜欢观看
男生
女生
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
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