新高考数学一轮复习 专项分层精练第27课 平面向量的基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设 SKIPIF 1 < 0 共线，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 不共线，所以没有任何一个 SKIPIF 1 < 0 能使该等式成立，
即假设不成立，也即 SKIPIF 1 < 0 不共线，则能作为基底；
对于B，假设 SKIPIF 1 < 0 共线，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 无解，所以没有任何一个 SKIPIF 1 < 0 能使该等式成立，
即假设不成立，也即 SKIPIF 1 < 0 不共线，则能作为基底；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设 SKIPIF 1 < 0 共线，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 无解，所以没有任何一个 SKIPIF 1 < 0 能使该等式成立，
即假设不成立，也即 SKIPIF 1 < 0 不共线，则能作为基底，
故选:C.
2．（2023春·福建宁德·高一统考期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2021春·广东广州·高一校联考期末）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线 ，
根据平面向量基本定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
5．（2022·海南·校联考模拟预测）用下列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 能表示向量 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的坐标运算，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，结合方程组的解，即可求解.
【详解】对于A中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，方程组有无数组解，例如 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以A成立；
对于B中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以B成立；
对于C中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，所以 SKIPIF 1 < 0 不能表示 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不成立；
对于D中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程组无解，所以 SKIPIF 1 < 0 不能表示 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不成立.
故选：AB.
6．（2022·高一课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A；利用平面向量的模长公式可判断B；利用平面向量垂直的坐标表示可判断C；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：BC.
7．（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，如下四个结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ；B．四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形；
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】求出向量 SKIPIF 1 < 0 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行且相等，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
三、填空题
8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2019·天津·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，等边 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也是等边三角形，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 边于 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ,可以证出四边形是菱形,以 SKIPIF 1 < 0 为一组基底，计算出 SKIPIF 1 < 0 的值，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可以得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 边于 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ,如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，所以可以证出四边形AEDF是菱形，故 SKIPIF 1 < 0 且
SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、平面向量加法的几何意义，考查了运算能力.
四、解答题
10．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不同向，由此可构造不等式组求得 SKIPIF 1 < 0 的范围
【详解】（1）因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不同向， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，除以 SKIPIF 1 < 0 ，再考虑方向可得．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，反向的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、多选题
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°
B．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为 SKIPIF 1 < 0
D．若平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是5
【答案】BCD
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；由共线向量的坐标表示可判断B；由投影向量的定义可判断C； SKIPIF 1 < 0 ，结合余弦函数的值域可判断D.
【详解】解：A选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，以及 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以夹角 SKIPIF 1 < 0 .
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，
则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .所以B正确.
C选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是5，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．（2023春·内蒙古乌兰察布·高一校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量共线和向量垂直的条件得到 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得到向量的坐标，然后可求出 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵( SKIPIF 1 < 0 )∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．
四、解答题
4．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）证明：对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立.
【答案】(1)-3；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合三点共线的充分必要条件可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得 SKIPIF 1 < 0 ，则恒有 SKIPIF 1 < 0 成立.
详解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 三点共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴恒有 SKIPIF 1 < 0 成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022·重庆·统考模拟预测）已知平面内两个给定的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】ABC
【分析】由给定条件用坐标表示 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.
【详解】因平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在平面直角坐标系中，令 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，表示以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，表示一条直线l，
依题意， SKIPIF 1 < 0 同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量 SKIPIF 1 < 0 的个数，
点C到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量 SKIPIF 1 < 0 有2个，C满足；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量 SKIPIF 1 < 0 有1个，B满足；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量 SKIPIF 1 < 0 满足条件，即有0个，A满足.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
二、多选题
2．（2023·浙江·高一专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 为不共线的向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】324
【分析】采用建系法，令 SKIPIF 1 < 0 ，将各个点用坐标表示，然后表达出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点C为 SKIPIF 1 < 0 的外心，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0
则点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 ，代入坐标， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”.
故 SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：324
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．