新高考数学一轮复习 专项分层精练第16课 任意角的三角函数（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知角 SKIPIF 1 < 0 终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，角 SKIPIF 1 < 0 终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的大小如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由图中的信息可知 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
3．（2023春·北京·高一校考期中）如图，角 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为始边，它的终边与单位圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】角 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为始边，它的终边与单位圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ； 故选：B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知锐角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义及 SKIPIF 1 < 0 的范围判断即可；
【详解】解：因为锐角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而有点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、多选题
5．（2022·高一课时练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用平面向量的模长公式可判断D选项.
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AB.
6．（2023秋·高一课时练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 顶点在原点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 正半轴为始边，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据角 SKIPIF 1 < 0 终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角函数的定义可以判断角 SKIPIF 1 < 0 的正弦、余弦、正切的正负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
【详解】由题意知角 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
选项A， SKIPIF 1 < 0 ；选项B， SKIPIF 1 < 0 ；选项C， SKIPIF 1 < 0 ；
选项D， SKIPIF 1 < 0 符号不确定.
故选：AB.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】点 SKIPIF 1 < 0 代入单位圆的方程求出点 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由弦化切可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：AC.
三、填空题
8．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 绕着原点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据三角函数定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 与x轴正半轴的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 与x轴正半轴的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与x轴正半轴的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2020秋·江苏泰州·高三江苏省姜堰第二中学校考阶段练习）欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中位于第 象限.
【答案】三
【分析】由欧拉公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中对应的点为 SKIPIF 1 < 0 .判断点 SKIPIF 1 < 0 所在的象限，即得答案.
【详解】由欧拉公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中对应的点为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在第三象限，
即 SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.
四、解答题
10．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1） SKIPIF 1 < 0 的周期是 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的解集；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用正弦函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出 SKIPIF 1 < 0 即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围和三角函数的性质，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【详解】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 的周期是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023春·吉林白城·高一校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆的交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】分析：首先求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用三角函数的定义得出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．
详解：∵点 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上， SKIPIF 1 < 0 ，则由三角函数的定义可得得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出 SKIPIF 1 < 0 的值是解题的关键．
二、多选题
2．（2021·高一课时练习）若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则正确的结论有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据正弦函数可得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
显然集合 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 成立，所以选项A正确.
SKIPIF 1 < 0 成立，所以选项B正确，选项D不正确.
SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.5
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 求导，然后令 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到 SKIPIF 1 < 0 的值域，从而判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可确定函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
4．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ SKIPIF 1 < 0 ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= SKIPIF 1 < 0 ，求csβ的值．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据同角三角函数关系得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）由角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022秋·重庆北碚·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
D．将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的所有点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，所得到的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】由三角函数的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，根据和角差角及二倍角公式代入计算可判断A、B正误，对于C、D，根据辅助角公式进行化简，结合绝对值变换、周期公式及“左加右减”平移方法就可以判断.
【详解】由三角函数的定义，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于D，将 SKIPIF 1 < 0 图象上的所有点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到的函数解析式 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )上恰有2个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】先求出零点的一般形式，再根据 SKIPIF 1 < 0 在区间( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )上恰有2个零点可得关于整数 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，从而可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在区间( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )上恰有2个零点，
所以存在整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得：
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ①，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故①无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ②，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故②无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，无解.
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.