2025届高考数学一轮复习教师用书第八章第六节利用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义（Word附解析）

第六节　利用空间向量研究直线、平面的位置关系【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.【微点拨】(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.2. 空间位置关系的向量表示【微点拨】利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是(　　)A.若两平面的法向量平行,则两平面平行B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行C.若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行D.若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行【解析】选AB.易知AB正确;C中向量a和b所在的直线可能重合;D中a所在的直线可能在平面内.2.(选择性必修一P30例3·变形式)平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于(　　)A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】选C.因为α∥β,所以两平面的法向量平行,所以-21=-42=k-2,所以k=4.3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有(　　)A.l∥α B.l⊥αC.l与α斜交 D.l⊂α或l∥α【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.4.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=-2,1,1,则(　　)A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l 与α斜交【解析】选C.因为a=1,0,2,n=-2,1,1, 所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.【巧记结论·速算】1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.【即时练】　两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是________. 【解析】因为v2=-2v1,所以v1∥v2.又l1与l2不重合,所以l1∥l2.答案:平行【核心考点·分类突破】考点一　利用空间向量证明平行问题角度1 线面平行[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),则AC=(x0,y0-2,-2).因为AQ=3QC,所以Q34x0,24+34y0,12.因为M为AD的中点,所以M(0,2,1).又因为P为BM的中点,故P0,0,12,所以PQ=34x0,24+34y0,0.又因为平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故PQ·a=0.又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.角度2 面面平行[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).因为EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),所以BC=2EF,所以BC∥EF.又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.【解题技法】利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行常用的方法:①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;②证明两个平面的法向量平行;③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.【对点训练】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【证明】建立空间直角坐标系如图,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,则n1⊥DAn1⊥AE,即n1·DA=2x1=0n1·AE=2y1+z1=0,得x1=0z1=-2y1,令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为FC1·n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1,又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,由n2⊥FC1n2⊥C1B1,得n2·FC1=2y2+z2=0n2·C1B1=2x2=0,得x2=0z2=-2y2,令z2=2,得y2=-1,所以n2 =(0,-1,2),因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.考点二　利用空间向量证明垂直问题角度1 线线、线面垂直[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1),B(1,0,0).(1)因为∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.所以C(12,32,0),E(14,34,12).设D(0,y,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即y=233,则D0,233,0,所以CD=-12,36,0.又因为AE=(14,34,12),所以AE·CD=-12×14+36×34=0,所以AE⊥CD,即AE⊥CD.(2)(方法一)由(1)知,D0,233,0,P(0,0,1),所以PD=0,233,-1.又因为AE·PD=34×233+12×(-1)=0,所以PD⊥AE,即PD⊥AE.因为AB=(1,0,0),所以PD·AB=0.所以PD⊥AB.又因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE.(方法二)由(1)知,AB=(1,0,0),AE=(14,34,12),设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x=014x+34y+12z=0,令y=2,则z=-3,所以n=(0,2,-3)为平面ABE的一个法向量.因为PD=0,233,-1,显然PD=33n.因为PD∥n,所以PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.角度2 面面垂直[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),所以AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0).所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125).又BA=(-4,-5,0),所以BM=BA+AM=-4,-165,125,则AP·BM=(0,3,4)·-4,-165,125=0,所以AP⊥BM,即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,所以AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.【解题技法】　利用空间向量证明垂直的方法【对点训练】　如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3).所以BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).因为BD·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,所以PA⊥BD,所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M12,-1,32.因为DM=32,0,32,PB=(1,0,-3),所以DM·PB=32×1+0×0+32×(-3)=0,所以DM⊥PB,即DM⊥PB.因为DM·PA=32×1+0×(-2)+32×(-3)=0,所以DM⊥PA,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.考点三　与平行、垂直有关的综合问题[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.【解析】(1)由折叠的性质得CD⊥DE,A1D⊥DE.又因为CD∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.又因为A1C⊂平面A1CD,所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE.建系如图,则C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,23),E(-2,2,0),B(0,3,0),所以A1B=(0,3,-23),A1E=(-2,2,-23).设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则A1B·n=0A1E·n=0,所以3y-23z=0-2x+2y-23z=0,取z=3,则x=-1,y=2,所以n=(-1,2,3)为平面A1BE的一个法向量.又因为M(-1,0,3),所以CM=(-1,0,3),所以cos=CM·n|CM||n|=1+31+4+3×1+3=22.所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.(2)假设线段BC上存在点P满足条件,设P点坐标为(0,a,0),a∈[0,3],所以A1P=(0,a,-23),DP=(2,a,0).设平面A1DP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则ay1-23z1=02x1+ay1=0,取y1=6,则x1=-3a,z1=3a,所以n1=(-3a,6,3a).若平面A1DP与平面A1BE垂直,则n1·n=0,所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.因为0≤a≤3,所以a=-2舍去.所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.【解题技法】1.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.2.解决折叠问题的关键解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.【对点训练】　如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【解析】(1)连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设底面边长为a,则SO=62a,所以S0,0,62a,D-22a,0,0,B22a,0,0,C0,22a,0,所以OC=0,22a,0,SD=-22a,0,-62a,则OC·SD=0.故OC⊥SD.所以AC⊥SD.(2)侧棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC,此时SE∶EC=2∶1.理由如下:由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量,且DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,BC=-22a,22a,0.设CE=tCS(0