新高考数学二轮复习讲练专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153451810" PAGEREF _Tc153451810 \h 2
\l "_Tc153451811" PAGEREF _Tc153451811 \h 3
\l "_Tc153451812" PAGEREF _Tc153451812 \h 3
\l "_Tc153451813" PAGEREF _Tc153451813 \h 6
\l "_Tc153451814" PAGEREF _Tc153451814 \h 12
\l "_Tc153451815" 考点一：函数零点问题之分段分析法模型 PAGEREF _Tc153451815 \h 12
\l "_Tc153451816" 考点二：函数嵌套问题 PAGEREF _Tc153451816 \h 14
\l "_Tc153451817" 考点三：函数整数解问题 PAGEREF _Tc153451817 \h 17
\l "_Tc153451818" 考点四：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc153451818 \h 20
\l "_Tc153451819" 考点五：等高线问题 PAGEREF _Tc153451819 \h 22
\l "_Tc153451820" 考点六：分段函数零点问题 PAGEREF _Tc153451820 \h 25
\l "_Tc153451821" 考点七：函数对称问题 PAGEREF _Tc153451821 \h 29
\l "_Tc153451822" 考点八：零点嵌套问题 PAGEREF _Tc153451822 \h 31
\l "_Tc153451823" 考点九：函数零点问题之三变量问题 PAGEREF _Tc153451823 \h 34
\l "_Tc153451824" 考点十：倍值函数 PAGEREF _Tc153451824 \h 36
\l "_Tc153451825" 考点十一：函数不动点问题 PAGEREF _Tc153451825 \h 38
\l "_Tc153451826" 考点十二：函数的旋转问题 PAGEREF _Tc153451826 \h 40
\l "_Tc153451827" 考点十三：构造函数解不等式 PAGEREF _Tc153451827 \h 42
\l "_Tc153451829" 考点十四：导数中的距离问题 PAGEREF _Tc153451829 \h 45
\l "_Tc153451831" 考点十五：导数的同构思想 PAGEREF _Tc153451831 \h 49
\l "_Tc153451832" 考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 PAGEREF _Tc153451832 \h 51
\l "_Tc153451833" 考点十七：三次函数问题 PAGEREF _Tc153451833 \h 54
\l "_Tc153451834" 考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 PAGEREF _Tc153451834 \h 56
\l "_Tc153451835" 考点十九：任意存在性问题 PAGEREF _Tc153451835 \h 62
\l "_Tc153451836" 考点二十：双参数最值问题 PAGEREF _Tc153451836 \h 65
\l "_Tc153451837" 考点二十一：切线斜率与割线斜率 PAGEREF _Tc153451837 \h 67
\l "_Tc153451838" 考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） PAGEREF _Tc153451838 \h 69
\l "_Tc153451839" 考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 PAGEREF _Tc153451839 \h 72
\l "_Tc153451840" 考点二十四：函数的伸缩变换问题 PAGEREF _Tc153451840 \h 74
\l "_Tc153451841" 考点二十五：V型函数和平底函数 PAGEREF _Tc153451841 \h 76
\l "_Tc153451842" 考点二十六：曼哈顿距离与折线距离 PAGEREF _Tc153451842 \h 78
有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．
（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当时，有两根，，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么：
① 若，则有且只有个零点；
② 若，则有个零点；
③ 若，则有个零点．
特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为．
同理，对于三次函数，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，
则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，
，，是减函数，
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：．
2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，解得或，即及是的两个零点，
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，
则；
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，
则；
综上，．
故选：．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
5．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，， ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
切线的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在，处的切线相互垂直，可得，
即为，，，
所以．
故答案为：．
7．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
8．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，
则在单调递增，，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，
即：，
解得：，又因为，故
综上所述：的取值范围是．
9．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
10．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
【答案】2．
【解析】函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，
是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，
则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
考点一：函数零点问题之分段分析法模型
例1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，即
令，
则函数与函数的图象至少有一个交点
易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数
，
函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数与函数的草图，如下图所示
由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点
只需，即
解得：
故选：B
例3．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．
考点二：函数嵌套问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
【答案】A
【解析】根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以；
函数，时单调递减，所以，
对于方程，令，则，所以，
即方程必有两个不同的实数根，且，
当时，，3个交点；
当时，，也是3个交点；
故选：A．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
【答案】B
【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.
f(x)的图象如下：
综上可考查方程的根的情况如下：
（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；
（3）当或时，有两个实根；
（4）当时，无实根.
令，则由，得，
当时，由，
符号情况（1），此时原方程有1个根，
由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；
当时，由，又，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，
由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1个或3个根.
综上所述，的值为1或3.
故选B.
考点三：函数整数解问题
例7．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】函数定义域为，函数没有零点可转化为方程
没有实根，
设，则
令，即①，
又函数，，所以恒成立，所以在单调递增，
所以方程①即，即，有唯一的实数解
且函数在上，单调递减，在上，单调递增，
所以有最小值,
又时，，所以方程没有实根，可得
则整数的最大值是1.
故选：C.
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中校考）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
构造函数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
当时，对于，，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以.
.
若，即，
设，
，
设，
，
在上递减，且，
所以当时，，递减，
由于，
所以当时，，
所以当时，递减，
所以，
所以当时，恒成立，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以，即，
解得，所以的取值范围是.
故选：D
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，由，可得（），
显然当时，不等式在恒成立，不合题意；
当时，令，则在上单调递增，
令，则，故上，上，
∴在上递增，在上递减，
又且趋向正无穷时趋向0，故，
综上，图象如下：
由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得．
故选：D
考点四：唯一零点求值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】函数有唯一零点，
设
则函数有唯一零点，
则
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，
∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），
故选A．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C
例12．（2023春·辽宁·高三校联考期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
【答案】C
【解析】由题意，函数，分别是奇函数和偶函数，且，
可得，解得，
则，所以为偶函数，
又由函数关于直线对称，
且函数有唯一零点，可得，即，
即，解得或.
故选：C.
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数，
令，
则为偶函数，
因为函数有唯一零点，
所以有唯一零点，
根据偶函数的对称性，则，
解得，
故选：B
考点五：等高线问题
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，
因为函数的图象关于对称，所以，
，即，且，
显然，不等式变形为，
，
，
所以，
由勾形函数性质知在时是增函数，所以，
令，则，，，
当时，，单调递减，所以，
所以，即的最小值是．
故选：A．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
作出的图象，函数与三个不等实根，且，
那么，可得，，
所以，
构造新函数
当时，在单调递减；
当时，在单调递增；
∴当时，取得最小值为，即的最小值为；
故选：A
例16．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，
函数图象如下：
所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，
要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，
由开口向下且对称轴为，
由上图知：，此时且，，
结合图象及有，，则，
所以，且，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故最大值为.
故选：A
考点六：分段函数零点问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，
则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，
故的图象有两个不同的交点，
设
又的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若，此时两个函数的图象有两个不同的交点，
当时，
考虑直线与的图象相切，
则由可得即，
考虑直线与的图象相切，
由可得，则即.
考虑直线与的图象相切，
由可得即，
结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，或或，
故选：B.
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
考点七：函数对称问题
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，
有解，即有解．
令，则，，
当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增
，，，
有解等价于与图象有交点， ．
故选：B
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x0,且t≠1),
则a==(2e-t)ln t.
令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)≠0,
则f'(t)=-(1+ln t).
令=1+ln t,得t=e.由数形结合可知,当t>e时,f'(t)