辽宁省抚顺本溪铁岭辽阳葫芦岛市2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份辽宁省抚顺本溪铁岭辽阳葫芦岛市2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，估计的运算结果应在等内容，欢迎下载使用。
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若是无理数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）
A．33B．－33C．－7D．7
3．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有( )
A．个B．个C．个D．个
4．若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
5．方程组的解中x与y的值相等，则k等于（ ）
A．－1B．－2C．－3D．－4
6．在，0，，这四个数中，为无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
7．下面四个交通标志图中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①是等腰三角形；②；
③若，；④．
其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
9．估计的运算结果应在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
10．若（a+b)2=4，(a -b)2=6，则 a2+b2 的值为（ ）
A．25B．16C．5D．4
11．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处B．A，C两点处C．E，G两点处D．B，F两点处
12．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．_____3（填＞，＜或=）
14．分解因式____________．
15．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_________度．
16．已知一组数据为：5，3，3，6，3则这组数据的方差是______．
17．当为______时，分式的值为1．
18．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．
三、解答题（共78分）
19．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
20．（8分）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．
21．（8分）某中学开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请计算八（1）班、八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩；
（2）请判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定，并说明理由？
22．（10分）如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC=2时，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
24．（10分）铜陵市“雨污分流”工程建设期间，某工程队承包了一段总长2400米的地下排水管道铺设任务，按原计划铺设800米后，为尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高了25%，结果共用13天完成任务．
（1）求原计划平均每天铺设管道多少米？
（2）若原来每天支付工人工资为2000元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了30%，则完成整个工程后共支付工人工资多少元？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．

（1）求点的坐标及直线的解析式．
（2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标．
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在长度为1个单位的小正方形网格中，点、、在小正形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找一点（在图中标出，不写作法，保留作图痕迹），使的长最小，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】根据无理数的概念和算术平方根解答即可．
【详解】A．是有理数，错误；
B．是有理数，错误；
C．是无理数，正确；
D．是有理数，错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数，关键是根据无理数的概念和算术平方根解答．
2、D
【解析】试题分析：关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据性质可得：a=－13，b=20，则a+b=－13+20=1．
考点：原点对称
3、C
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】符合题意的三角形如图所示：
满足要求的图形有6个
故选：C
【点睛】
本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义．
4、D
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出结果．
【详解】解：∵62+82=100=102，
∴三边长分别为6cm、8cm、10cm的三角形是直角三角形，最大边是斜边为10cm．
∴最大边上的中线长为5cm．
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
5、B
【解析】分析：首先根据方程组的解法求出x和y的值，然后根据x=y得出k的值．
详解：解方程组可得：， ∵x与y的值相等，
∴ ，解得：k=－2，故选B．
点睛：本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解二元一次方程组就是利用消元的思想来进行，可以加减消元，也可以代入消元．本题中在解方程组的时候一定要讲k看作是已知数，然后进行求解得出答案．
6、C
【解析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）选出答案即可．
【详解】解：无理数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的根式．
7、D
【分析】根据“一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合”求解．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键.
8、B
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠DBF =∠DFB，∠ECF=∠EFC，然后利用等角对等边即可得出DB=DF，EF=EC，从而判断①和②；利用三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ACB，然后利用角平分线的定义和三角形的内角和定理即可求出∠BFC，从而判断③；然后根据∠ABC不一定等于∠ACB即可判断④．
【详解】解：∵与的平分线交于点，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB
∵
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB
∴∠DBF =∠DFB，∠ECF=∠EFC
∴DB=DF，EF=EC，
即是等腰三角形，故①正确；
∴DE=DF＋EF= BD＋CE，故②正确；
∵∠A=50°
∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=130°
∴∠FBC＋∠FCB=（∠ABC＋∠ACB）=65°
∴∠BFC=180°－（∠FBC＋∠FCB）=115°，故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB
∴∠FBC不一定等于∠FCB
∴BF不一定等于CF，故④错误．
正确的有①②③，共3个
故选B．
【点睛】
此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形的内角和定理，掌握角平分线、平行线和等腰三角形三者之间的关系是解决此题的关键．
9、A
【分析】根据算术平方根的定义由9＜15＜16可得到31．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴31．
故选：A．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
10、C
【分析】由可得答案．
【详解】解：①，
②
①＋②得：

故选C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，掌握两个完全平方公式的结合变形是解题的关键．
11、C
【分析】根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】A选项：若钉在G、H两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B选项：若钉在A、C两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C选项：若钉在E、G两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故符合题意；
D选项：若钉在B、F两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．
12、A
【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC＝SABP+SACP，代入数值，解答出即可．
【详解】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝1，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF＝3，
∴，
12＝×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.1．
故选A．
【点睛】
考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、＜．
【解析】将3转化为，再比较大小即可得出结论.
【详解】∵3=，
∴＜，
∴＜3.
故答案为＜.
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练的掌握实数的大小比较方法.
14、
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
15、1
【分析】根据三角形的内角和求出∠2=45°，再根据对顶角相等求出∠3=∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【详解】解：∵∠2=90°－45°=45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1=∠3+30°=45°+30°=1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
16、
【解析】先求出平均数，再根据方差的公式计算即可．
【详解】这组数据的平均数是：，
则这组数据的方差是；
故答案为．
【点睛】
此题考查了方差：一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17、2．
【分析】先根据分式的值为零的条件确定分子为零分母不为零，再求解方程和不等式即得．
【详解】解：∵分式的值为1
∴
∴．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查分式的定义，正确抓住分式值为零的条件是解题关键．
18、15
【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
三、解答题（共78分）
19、17、20；2次、2次；；人．
【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【详解】被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为17、20；
由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为2次、2次；
扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．
【点睛】
本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.
20、（1）定点O是△ABC的外心有道理，理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接、、，如图①，根据线段垂直平分线的性质得到，，则，从而根据三角形的外心的定义判断点是的外心；
（2）连接、、、，如图②，利用等边三角形的性质得到，，再计算出，接着证明得到，同理可得，所以，然后根据三角形外心的定义得到点是的外心．
【详解】（1）解：定点是的外心有道理．
理由如下：
连接、、，如图①，
，的垂直平分线得到交点，
，，
，
点是的外心；
（2）证明：连接、、、，如图②，
点为等边的外心，
，，
，
，
在和中
，
，
，
同理可得，
，
点是的外心．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和全等三角形的判定、等边三角形的性质．掌握线段垂直平分线性质和构造三角形全等是解题关键．
21、（1）八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分；（2）八（1）班的成绩比较稳定，见解析
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【详解】（1）=（75+80+85+85+100）=85（分），
=（70+100+100+75+80）=85（分），
所以，八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分．
（2）八（1）班的成绩比较稳定．
理由如下：
s2八（1）=[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70，
s2八（2）=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160，
∵s2八（1）＜s2八（2）
∴八（1）班的成绩比较稳定．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22、（1）△ACP与△BPQ全等，理由详见解析；（2）PC⊥PQ，证明详见解析；（3）当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；
（2）根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；
（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解】（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝4cm，
则BP＝12﹣4＝8cm，
∴BP＝AC＝8cm，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴12﹣2t＝8，
解得，t＝2（s），
则x＝2（cm/s）．
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则2t＝×12，
解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），
故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题属于三角形专题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
23、（1）25°；小；（2）见解析；（3）当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况；
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案；
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2）∵∠EDC+∠ADE=∠DAB+∠B，∠B=∠EDA=40°
∴∠EDC=∠DAB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（ASA）
（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=×（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
24、（1）原计划平均每天铺设管道160米；（2）完成整个工程后共支付工人工资30800元．
【分析】（1）设原计划平均每天铺设管道x米，根据共用13天完成任务列出方程求解即可；
（2）根据总工资=铺设前800米的工资+铺设剩余部分的工资，列出式子进行计算即可．
【详解】解：（1）设原计划平均每天铺设管道米，由题意得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
即原计划平均每天铺设管道160米．
（2）（元）．
答：完成整个工程后共支付工人工资30800元．
【点睛】
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
25、（1），直线的解析式为．（2）坐标为或．（3）存在，满足条件的点的坐标为或或．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法即可解答；
（2）分两种情况：①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，求出点；②当时，如图，同法可得，再将解代入直线解析式求出n值即可解答；
（3）利用三角形面积公式求出点M的坐标，求出直线AM的解析式，作BE∥OC交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得即可解答．
【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．
（2），，，
，设，
①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．
是等腰直角三角形，易证，
，，
，
点在直线，
，
，
．
②当时，如图，同法可得，
点在直线上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或．
（3）如图，设，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，
可得，，
当点在第三象限，由BC=DE，根据对称性知，点D关于点A对称的点也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】
本题考查三角形的面积、待定系数法求直线解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，是一次函数与几何图形的综合题，解答的关键是理解题意，认真分析，结合图形，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合等解题方法进行推理、计算．
26、（1）图见解析；（2）图见解析，理由见解析
【分析】（1）先分别找到A、B、C关于l的对称点，然后连接即可；
（2）连接，交l于点P，连接BP，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明．
【详解】解：（1）分别找到A、B、C关于l的对称点，然后连接，如图所示，即为所求；
（2）连接，交l于点P，连接BP，
由轴对称的性质可知BP=
∴此时，
根据两点之间线段最短，即为的最小值，如图所示，点P即为所求．
【点睛】
此题考查的是画已知三角形的轴对称图形和轴对称性质的应用，掌握轴对称图形的画法、轴对称的性质和两点之间线段最短是解决此题的关键．
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