新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）08 洛必达法则的应用（2份打包，原卷版+含解析）

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一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1（ SKIPIF 1 < 0 型）：若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：
（1）设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在点 SKIPIF 1 < 0 处函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续的，即函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处存在导数；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；则： SKIPIF 1 < 0 .
2.法则2（ SKIPIF 1 < 0 型）： 若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：
(1) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在点 SKIPIF 1 < 0 处函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续的，即函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处存在导数；
(3) SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0 .
3.法则3（ SKIPIF 1 < 0 型）：若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：
(1) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在点 SKIPIF 1 < 0 处函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像是连续的，即函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处存在导数；且 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
【特别提醒】
（1）将上面公式中的 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理 SKIPIF 1 < 0 型。
（3）首先要检查是否满足 SKIPIF 1 < 0 型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1） SKIPIF 1 < 0 型的转化： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 型的转化： SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 型的转化：幂指函数类 SKIPIF 1 < 0
二、题型精讲精练
【典例1】设函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
解：（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调减少，在 SKIPIF 1 < 0 单调增加
（II） SKIPIF 1 < 0
由（I）知 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故
SKIPIF 1 < 0 ，
从而当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .从而当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综合得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数a,均在 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 ；知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，g(x)在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数。
由洛必达法则知， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，综上，知a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【典例2】若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解：当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则.
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减（也就是x趋于0时，f（x）最大）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0
【典例3】（1）0∙∞型
技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可将无穷通分，进而化为型
【典例5】（3）∞0型
转化方法同上，
技巧：可利用对数性质℮lna=a，将函数化为以为℮底数的指数函数，转化为对指数求极限。转化方法如下：，这样就化为了0∙∞型
【题型训练】
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以,
所以当时,,即递减,
当时,,即递增.
若当时,恒有成立,即恒有成立,
当时,不等式恒成立.
当时,恒有成立,即,
令,则.
今,则,进一步,
所以在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以,
即在上恒成立,所以在上单调递减.
所以,所以.综上,的取值范围为.
2.设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
由题设 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由洛必达法则有
SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
3.函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）如果当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解：（1）易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由洛必达法则有
SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
4.设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解：（1）易证.
（2）应用洛必达法则和导数
由题设 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由洛必达法则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
5.若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
由洛必达法则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 趋向于0时， SKIPIF 1 < 0 趋向 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
6.已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围.
【解析】的定义域为,
,则,
所以当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增,
所以时,,即在上单调递增.
所以的单调递增区间为,无减区间.
(2)对任意,不等式成立等价于对任意恒成立.当时,;
对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立.
记,
则
.
记,
则,
所以在单调递减,又,
所以时,,所以在单调递减.
所以.综上所述,实数的取值是.