新高考数学二轮复习导数培优专题24 导数中的洛必达法则（含解析）

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(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝0及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1) eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝∞及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝l.
1．已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)，求k的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)－ln x)),x＋12)－eq \f(b,x2).由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，且过点(1,1)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
(2)法一：由(1)知f(x)＝eq \f(ln x,x＋1)＋eq \f(1,x)，所以f(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x－1)＋\f(k,x)))＝eq \f(1,1－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2ln x＋\f(k－1x2－1,x))).
设h(x)＝2ln x＋eq \f(k－1x2－1,x)(x>0)，则h′(x)＝eq \f(k－1x2＋1＋2x,x2).
①设k≤0，由h′(x)＝eq \f(kx2＋1－x－12,x2)知，当x≠1时，h′(x)0，可得eq \f(1,1－x2)h(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.
从而当x>0，且x≠1时，f(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x－1)＋\f(k,x)))>0，即f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x).
②设01，所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,1－k)))时，(k－1)(x2＋1)＋2x>0，
故h′(x)>0，而h(1)＝0，故当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,1－k)))时，h(x)>0，可得eq \f(1,1－x2)h(x)0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得eq \f(1,1－x2)h(x)0，x≠1时，k0，x≠1)，则g′(x)＝2·eq \f(x2＋1ln x－x2＋1,1－x22)，
再令h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，x≠1)，
则h′(x)＝2xln x＋eq \f(1,x)－x，又h″(x)＝2ln x＋1－eq \f(1,x2)，
易知h″(x)＝2ln x＋1－eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上为增函数，且h″(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h″(x)0，
∴h′(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故h′(x)>h′(1)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数．又h(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，h(x)0，
∴当x∈(0,1)时，g′(x)0，
∴g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知，
eq \(lim,\s\d4(x→1)) g(x)＝2eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(xln x,1－x2)＋1＝2eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(1＋ln x,－2x)＋1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋1＝0，∴k≤0，
故k的取值范围为(－∞，0]．
2．设函数f(x)＝1－e－x，当x≥0时，f(x)≤eq \f(x,ax＋1)，求a的取值范围．
【解析】设t(x)＝(x－1)ex＋1(x>0)，得t′(x)＝xex>0(x>0)，所以t(x)是增函数，t(x)>t(0)＝0(x>0)．
又设h(x)＝(x－2)ex＋x＋2>0(x>0)，得h′(x)＝t(x)>0(x>0)，所以h(x)是增函数，h(x)>h(0)＝0(x>0)．
由f(x)≤eq \f(x,ax＋1)，得a≤eq \f(xex－ex＋1,xex－1)，再设g(x)＝eq \f(xex－ex＋1,xex－1)(x>0)，得g(x)>eq \f(1,2)(x>0)．
连续两次使用洛必达法则1，得eq \(lim,\s\d4(x→0))g(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(xex,xex＋ex－1)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(xex＋ex,xex＋2ex)＝eq \f(1,2)，
所以g(x)的下确界是eq \f(1,2).题设即“当x>0时，1－e－x≤eq \f(x,ax＋1)恒成立”，所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
3．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；所以要使f(x)在R上有5个零点，
只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点．所以等价于方程a＝eq \f(ln x＋1,x)在(0，＋∞)上有2个根．
所以等价于y＝a与g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)(x>0)的图象有2个交点．g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)，
所以g(x)的最大值为g(1)＝1.
因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：
eq \(lim,\s\d4(x→＋∞)) g(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→＋∞)) eq \f(ln x＋1′,x′)＝eq \(lim,\s\d4(x→＋∞)) eq \f(1,x)＝0，所以01)恒成立，则a≥eq \f(1,2)，即a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
5．已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】方法一 (最值分析法) f′(x)＝2xln x＋x－2ax＝x(2ln x＋1－2a)，
因为x≥1，所以2ln x＋1≥1，则当a≤eq \f(1,2)时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0，
此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，所以a≤eq \f(1,2)；
当a>eq \f(1,2)时，由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0，得x＝x0，且2ln x0＋1－2a＝0，x0＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则x∈[1， SKIPIF 1 < 0 )时，f′(x)0，则f(x)单调递增，
f(x)min＝f( SKIPIF 1 < 0 )＝( SKIPIF 1 < 0 )2·eq \f(2a－1,2)－a[( SKIPIF 1 < 0 )2－1]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))e2a－1－a(e2a－1－1)＝a－eq \f(e2a－1,2)＝eq \f(e·2a－e2a,2e)1时，a≤eq \f(x2ln x,x2－1)，
令g(x)＝eq \f(x2ln x,x2－1)(x>1)，则g′(x)＝eq \f(x(x2－1－2ln x),(x2－1)2)，
因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－eq \f(2,x)>0，故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，故g′(x)＝eq \f(x(x2－1－2ln x),(x2－1)2)>0．所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
则g(x)>g(1)，由洛必达法则知eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(x2ln x,x2－1)＝eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(2xln x＋x,2x)＝eq \f(1,2)．
所以由a≤eq \f(x2ln x,x2－1)恒成立，则a≤eq \f(1,2)．
6．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
【解析】方法一 (最值分析法)
由f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，得f′(x)＝ln x＋eq \f(1,x)＋1－a．
(1)当1－a≥0，即a≤1时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0．
(2)当a>1时，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝eq \f(x－1,x2)>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f′(x)>f′(1)＝2－a．
①若2－a≥0，即10，于是f(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f(x)>f(1)＝0．
②若2－a2时，存在x0∈(1，＋∞)，使得当10时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，∴a＝eq \f(1,2)．
(2)方法一 (最值分析法)
当x>0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，
令φ(x)＝ex－1－ax(x>0)，则φ(x)min≥0，φ′(x)＝ex－a．
①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．
②当a>1时，若01)，∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，即ax≤ex－1，即a≤eq \f(ex－1,x)恒成立，
令h(x)＝eq \f(ex－1,x)(x>0)，∴h′(x)＝eq \f(ex(x－1)＋1,x2)，令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)，∴k′(x)＝ex·x>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴k(x)>k(0)＝0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知，eq \(lim,\s\d4(x→0))h(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(ex－1,x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))ex＝1，∴a≤1．
故实数a的取值范围是(－∞，1]．
8．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
【解析】方法一 (最值分析法)
令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，
则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，∵x>0，∴ln(x＋1)>0．
(1)当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，
∴φ(x)>0恒成立，故a≤1满足题意．
(2)当1－a1时，令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，
∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)0，
∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递减，在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(ea－1－1)0恒成立矛盾，故a>1不满足题意．
综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
方法二 (参变分离法)
x∈(0，＋∞)时，(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成立，即a0)，∴g′(x)＝eq \f(x－ln(x＋1),x2)．
令k(x)＝x－ln(x＋1)(x>0)，∴k′(x)＝1－eq \f(1,x＋1)＝eq \f(x,x＋1)>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴k(x)>k(0)＝0，∴x－ln(x＋1)>0恒成立，
∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知eq \(lim,\s\d4(x→0))g(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f((x＋1)ln(x＋1),x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0)) [ln(x＋1)＋1]＝1，
∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
9．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋ae－x－a，a∈R，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
【解析】(参变分离法)
f(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒成立⇔a≤eq \f(ln(x＋1),1－e－x)．设h(x)＝eq \f(ln(x＋1),1－e－x)．
则h′(x)＝eq \f(\f(1,x＋1)(1－e－x)＋ln(x＋1)·e－x,(1－e－x)2)，
当x>0时，1－e－x >0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当x→0＋时，ln(x＋1)→0，1－e－x→0， SKIPIF 1 < 0
∴h(x)在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)，∴a≤1．
故a的取值范围是(－∞，1]．
10．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2．
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
【解析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1．
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0．
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2) (参变分离法)当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a，均有f(x)≥0；
当x>0时，f(x)≥0等价于a≤eq \f(ex－x－1,x2)．令g(x)＝eq \f(ex－x－1,x2)(x>0)，则g′(x)＝eq \f(xex－2ex＋x＋2,x3)，
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，则h′(x)＝xex－ex＋1，h″(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知，eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(ex－x－1,x2)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(ex－1,2x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(ex,2)＝eq \f(1,2)，
故a≤eq \f(1,2)．综上，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))．
11．已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
【解析】法一：（Ⅰ），由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而
故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0，
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，
可得h（x）0,而h（1）=0，故当
x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x） SKIPIF 1 < 0 =0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0
SKIPIF 1 < 0 当时， SKIPIF 1 < 0 ，当x（1，+）时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当时， SKIPIF 1 < 0 ，当x（1，+）时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数
SKIPIF 1 < 0 由洛必达法则知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即k的取值范围为（-，0]
12．设函数 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由洛必达法则有 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
13．设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 在每一个区间 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是增函数，
SKIPIF 1 < 0 在每一个区间 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是减函数．
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
而 SKIPIF 1 < 0 .
另一方面，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
14．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 恒与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于坐标原点。（1）求常数 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；（3）求证： SKIPIF 1 < 0 恒成立
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分离变量可得： SKIPIF 1 < 0 ，先令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 为单调增函数，
故只需证明 SKIPIF 1 < 0 即可，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 属于 SKIPIF 1 < 0 类型，
用洛必达法则 SKIPIF 1 < 0
（3）要证 SKIPIF 1 < 0 ，故只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 即可。
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间．
（2）解法1：直接求导，分类讨论．
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
②若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不恒成立．
③若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
解法 SKIPIF 1 < 0
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记△ SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，△ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，不符合题意．
③ SKIPIF 1 < 0 时，不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立．
④当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 的二根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即不等式 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 不恒成立．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
解法3：参数分离
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一的实数解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：易知 SKIPIF 1 < 0 为方程的根，
由题只需说明当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时原方程均没有实数解即可．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时方程显然无解，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时方程 SKIPIF 1 < 0 也无解．
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故令 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减
SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，可知原方程也无解，
由上面的分析可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 均无解．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时方程显然无解，
若 SKIPIF 1 < 0 ，和①中的分析同理可知此时方程 SKIPIF 1 < 0 也无解．
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由①中的分析知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
如果 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要使方程无解，只需 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0
如果 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 一定有解，不满足．
由上面的分析知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 均无解，
综合①②可知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，且曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，恒成立；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0
（或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，进而 SKIPIF 1 < 0 ）．
可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
而 SKIPIF 1 < 0 要大于等于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，但当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
x
(0,1)
(1，＋∞)
g(x)
＋
－