2024-2025学年九年级数学上册专题1.3 正方形的性质与判定【十二大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题1.3 正方形的性质与判定【十二大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共18页。

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\l "_Tc22041" 【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】 PAGEREF _Tc22041 \h 1
\l "_Tc29467" 【题型2 由正方形的性质求角度】 PAGEREF _Tc29467 \h 2
\l "_Tc20016" 【题型3 由正方形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc20016 \h 4
\l "_Tc11793" 【题型4 由正方形的性质求面积】 PAGEREF _Tc11793 \h 5
\l "_Tc25794" 【题型5 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc25794 \h 6
\l "_Tc164" 【题型6 正方形中的证明】 PAGEREF _Tc164 \h 8
\l "_Tc25680" 【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】 PAGEREF _Tc25680 \h 9
\l "_Tc28097" 【题型8 证明四边形是正方形】 PAGEREF _Tc28097 \h 11
\l "_Tc25793" 【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】 PAGEREF _Tc25793 \h 12
\l "_Tc29624" 【题型10 由正方形性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc29624 \h 14
\l "_Tc8475" 【题型11 由正方形性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc8475 \h 15
\l "_Tc10122" 【题型12 由正方形性质与判定证明】 PAGEREF _Tc10122 \h 17
知识点1：正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
【例1】（23-24九年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
A．平行四边形，正方形B．正方形，菱形C．正方形，矩形D．矩形，菱形
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角
【变式1-2】（23-24九年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（3）（5）D．（1）（3）（4）（5）
【变式1-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），且AE=CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形BFDE是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形
【题型2 由正方形的性质求角度】
【例2】（23-24九年级·重庆江津·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．当∠DEC=α时，则∠GCF的度数为（ ）
A．α2B．90°−α
C．3α2−90°D．180°−32α
【变式2-1】（23-24九年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形ABCD中，点M,N,P分别在AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN=α，则∠AMP一定等于（ ）

A．2αB．45°+αC．90°−12αD．135°−α
【变式2-2】（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，且∠ABE=72°；延长BE交CD于点F，连接DE，则∠DEF的度数为 ．

【变式2-3】（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E为边AB上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，连接OF，若∠ACF=α，则∠DOF的度数为（ ）
A．2aB．30°+aC．45°−aD．60°−2a
【题型3 由正方形的性质求线段长】
【例3】（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
【变式3-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为1,3，则点B的坐标为 （ ）

A．−3,1B．−1,3
C．1+3,1−3D．1−3,1+3
【变式3-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）
A．22B．5C．355D．655
【变式3-3】（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
【题型4 由正方形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ．

【变式4-1】（23-24九年级·四川德阳·期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求内接正方形DECF的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形ACBG（如图1），在该图形中发现一个与正方形DECF面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点A在线段AG上平移至点A′，连接A′C，A′B与直线ED分别相交于点M，点N（如图2），则平行四边形MCFN的面积为（ ）

A．12B．14449C．25D．14425
【变式4-2】（23-24九年级·山西吕梁·期末）如图，一个正方形ABCD中有两个小正方形，如果它们的面积分别为S1，S2，则S1 S2（填“>”或“=”或“