2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业【含解析】，共11页。
1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝4，则动点M的轨迹是（ ）
A.射线 B.直线
C.椭圆 D.双曲线的一支
2.过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若｜PQ｜＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（ ）
A.28 B.14－82
C.14＋82 D.82
3.（2024·江西南昌）若双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），则实数m的取值范围为（ ）
A.（0，4） B.（0，8）
C.（1，9） D.（8，＋∞）
4.（2024·江西临川）已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点P（1，3），则该双曲线的标准方程为（ ）
A.x24－y2＝1 B.x214－y2＝1
C.x212－y2＝1 D.y22－x22＝1
5.（2024·贵州贵阳）双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过－1,−3，则该双曲线离心率为（ ）
A.5 B.2
C.3 D.4
6.（2024·河南洛阳）若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则｜PF｜＋｜PA｜的最小值是（ ）
A.8 B.9
C.10 D.12
7.已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A.12 B.1
C.2 D.4
8.（多选）已知双曲线C上的点到点（2，0）和（－2，0）的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是（ ）
A.双曲线C的标准方程为x2－y23＝1
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D.圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有两个公共点
9.双曲线x2－y23＝1的渐近线与圆x2＋（y－4）2＝r2（r＞0）相切，则r＝ .
10.已知双曲线的一个焦点为F（0，5），它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为 .
11.已知焦点在x轴上的双曲线x28－m＋y24－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .
12.F1是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B，F1三点共线，则双曲线的离心率为 .
[B组 能力提升练]
13.（多选）已知F1（－3，0），F2（3，0），满足条件PF1－PF2＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支.则下列数据中，m可以是（ ）
A.12 B.2
C.－1 D.－3
14.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cs∠F1PF2＝（ ）
A.14 B.35
C.34 D.45
15.（2024·四川成都）已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.5
C.3 D.2
16.（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足｜PA｜－｜PB｜＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜OP｜＝（ ）
A.222 B.4105
C.7 D.10
17.设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得（OP＋OF1）·F1P＝0（O为坐标原点），设∠PF1F2＝α，则tan α的值为（ ）
A.6＋5 B.5＋26
C.6－5 D.5－26
18.（多选）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则（ ）
A.双曲线C的方程为x23－y29＝1
B.双曲线y23－x2＝1与双曲线C共渐近线
C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
19.若点P是以A（－3，0），B（3，0）为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则｜PA｜＋｜PB｜＝ .
20.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率是3，左右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是 ，∠AF1F2＝ .
21.（2024·云南下关）双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0，渐近线的斜率小于255，则C的离心率的取值范围为 .
2025年高考数学一轮复习-第九章-第六节-双曲线-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝4，则动点M的轨迹是（ ）
A.射线 B.直线
C.椭圆 D.双曲线的一支
答案：A
解析：设F1－2，0，F22，0，由题意知动点M满足MF1－MF2＝4＝F1F2，故动点M的轨迹是射线.
2.过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若｜PQ｜＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（ ）
A.28 B.14－82
C.14＋82 D.82
答案：C
解析：根据双曲线定义可知，｜PF2｜－｜PF1｜＝42，｜QF2｜－｜QF1｜＝42，所以｜PF2｜＋｜QF2｜－｜PQ｜＝82，∴｜PF2｜＋｜QF2｜＋｜PQ｜＝2｜PQ｜＋82＝14＋82.
3.（2024·江西南昌）若双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），则实数m的取值范围为（ ）
A.（0，4） B.（0，8）
C.（1，9） D.（8，＋∞）
答案：B
解析：由已知条件，得m＞0.因为双曲线x2－y2m＝1的离心率e∈（1，3），e＝1+m，所以1＜1+m＜3，解得0＜m＜8，
所以实数m的取值范围为（0，8）.
4.（2024·江西临川）已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点P（1，3），则该双曲线的标准方程为（ ）
A.x24－y2＝1 B.x214－y2＝1
C.x212－y2＝1 D.y22－x22＝1
答案：B
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为y＝±bax，所以ba＝2，所以双曲线的方程为x2a2－y24a2＝1.又点P（1，3）在双曲线上，所以1a2－34a2＝1，解得a2＝14，所以b＝2a＝1，所以双曲线的方程为x214－y2＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为y＝±abx，所以ab＝2，所以双曲线的方程为y24b2－x2b2＝1.又点P（1，3）在双曲线上，所以34b2－1b2＝1，此时方程无解，故舍去.所以该双曲线的标准方程为x214－y2＝1.
5.（2024·贵州贵阳）双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过－1,−3，则该双曲线离心率为（ ）
A.5 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，
将－1,−3代入渐近线方程得ba＝3，
所以e＝ 1+ba2＝1+3＝2.
6.（2024·河南洛阳）若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则｜PF｜＋｜PA｜的最小值是（ ）
A.8 B.9
C.10 D.12
答案：B
解析：由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B，则B（4，0），由双曲线的定义知｜PF｜＋｜PA｜＝4＋｜PB｜＋｜PA｜≥4＋｜AB｜＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号，所以｜PF｜＋｜PA｜的最小值为9.
7.已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A.12 B.1
C.2 D.4
答案：C
解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），所以AB中点坐标为x1＋x22，x1－x22，所以x1＋x222－x1－x222＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝12｜OA｜·｜OB｜＝12｜2x1｜·｜2x2｜＝｜x1x2｜＝2.
8.（多选）已知双曲线C上的点到点（2，0）和（－2，0）的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是（ ）
A.双曲线C的标准方程为x2－y23＝1
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D.圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有两个公共点
答案：AC
解析：根据双曲线的定义，得c＝2，2a＝2，所以a＝1，b＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1，A正确.由双曲线C的方程为x2－y23＝1，得双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，B错误.双曲线C的一个焦点坐标为（2，0），则其到渐近线的距离d＝｜±23｜1+3＝3，C正确.圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点坐标为（±1，0），所以圆与双曲线的公共点有4个，D错误.
9.双曲线x2－y23＝1的渐近线与圆x2＋（y－4）2＝r2（r＞0）相切，则r＝ .
答案：2
解析：渐近线的方程为3x±y＝0，圆心（0，4）到渐近线的距离等于r，则r＝｜±4｜3+1＝2.
10.已知双曲线的一个焦点为F（0，5），它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为 .
答案：y24－x2＝1
解析：设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），由题意得c＝5，ab=2⇒a2＋b2=5，a=2b⇒a2=4，b2=1，所以双曲线的标准方程为y24－x2＝1.
11.已知焦点在x轴上的双曲线x28－m＋y24－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .
答案：（0，2）
解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），它的焦点（c，0）到渐近线bx－ay＝0的距离为｜bc｜b2＋a2＝b.双曲线x28－m＋y24－m＝1化为x28－m－y2m－4＝1，其焦点在x轴上，则8－m>0，m－4>0，解得4＜m＜8，则焦点到渐近线的距离d＝m－4∈（0，2）.
12.F1是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B，F1三点共线，则双曲线的离心率为 .
答案：1+52
解析：设F1（－c，0），A（0，b），双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，由题意可得直线AB的斜率为ab.由A，B，F1三点共线，可得kAF1＝bc＝ab，即ac＝b2＝c2－a2.由e＝ca，可得e2－e－1＝0，解得e＝1+52（负值已舍去）.
[B组 能力提升练]
13.（多选）已知F1（－3，0），F2（3，0），满足条件PF1－PF2＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支.则下列数据中，m可以是（ ）
A.12 B.2
C.－1 D.－3
答案：BC
解析：由双曲线的焦点坐标F1（－3，0），F2（3，0），可得2c＝6，
要使得满足条件PF1－PF2＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，
则满足2m－10),解得x＝132，y＝332，
即｜OP｜＝134＋274＝10.
17.设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得（OP＋OF1）·F1P＝0（O为坐标原点），设∠PF1F2＝α，则tan α的值为（ ）
A.6＋5 B.5＋26
C.6－5 D.5－26
答案：B
解析：双曲线x24－y2＝1的a＝2，b＝1，c＝5，设｜PF2｜＝n，｜PF1｜＝m，由双曲线的定义可得n－m＝2a＝4.由（OP＋OF1）·F1P＝0，即为（OP＋OF1）·（OP－OF1）＝0，可得OP2－OF12＝0，即｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，则∠F1PF2＝90°，可得m2＋n2＝4c2＝20，解得m＝6－2，n＝6＋2，则tan α＝nm＝6+26－2＝5＋26.
18.（多选）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为2393，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则（ ）
A.双曲线C的方程为x23－y29＝1
B.双曲线y23－x2＝1与双曲线C共渐近线
C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D.存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
答案：ABD
解析：依题意可知M533，4，N393,−2，
对于A，将M，N的坐标分别代入x2a2－y2b2＝1，
得253a2－16b2=1，133a2－4b2=1，解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为x23－y29＝1，
其渐近线为y＝±3x，故A正确；
对于B，由y23－x2＝1，
可知其渐近线为y＝±3x，故B正确；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；
对于D，设双曲线上一点P（x0，y0），y0≠0，
则x023－y029＝1，即y02＝3x02－9，
由题可知D（－3，0），E（3，0），
则kPD＝y0x0＋3，
kPE＝y0x0－3，
kPD·kPE＝y0x0－3·y0x0＋3＝y02x02－3＝3，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确.
19.若点P是以A（－3，0），B（3，0）为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则｜PA｜＋｜PB｜＝ .
答案：213
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PA｜＞｜PB｜.因为点P是双曲线与圆的交点，由双曲线的定义知｜PA｜－｜PB｜＝25，①
又｜PA｜2＋｜PB｜2＝36，②
联立①②，化简得2｜PA｜·｜PB｜＝16，
所以（｜PA｜＋｜PB｜）2＝｜PA｜2＋｜PB｜2＋2｜PA｜·｜PB｜＝52，所以｜PA｜＋｜PB｜＝213.
20.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率是3，左右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是 ，∠AF1F2＝ .
答案：y＝±2x π6
解析：由题意，ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝3，即ba＝2，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x.不妨设A在第一象限，由双曲线的通径可知，｜F2A｜＝b2a，｜F1F2｜＝2c，所以tan∠AF1F2＝b2a2c＝b22ac＝b223a2＝123·b2a2＝123×2＝33，所以∠AF1F2＝π6.
21.（2024·云南下关）双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0，渐近线的斜率小于255，则C的离心率的取值范围为 .
答案：1，355
解析：根据题意，C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的渐近线方程为y＝±bax，
可得ba＜255，即5b＜2a，平方得5b2＜4a2，
又a2＋b2＝c2，所以5c2－a2＜4a2，即5c2＜9a2，又c＞a，
所以1＜ca＜355.