2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
4．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
5．若AB为过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为( )
A．6 B．12
C．24 D．48
6．已知A，B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
7．已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则|eq \(AF,\s\up6(→))|＝( )
A．eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．3
8．(多选题)已知直线y＝3x＋2被椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
二、填空题
9．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点到直线y＝eq \r(3)x的距离是___________.
10．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为___________.
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为___________.
三、解答题
12．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，求直线AB的方程．
13．已知离心率为eq \f(\r(2),2)的椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝eq \f(\r(2),2)x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
14．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
15．过点M(－2,0)的直线m与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A．2 B．－2
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
16．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
直线与椭圆的位置关系-专项训练（解析版）
时间：45分钟
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( C )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( A )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴eq \f(|b×0－a×0＋2ab|,\r(b2＋－a2))＝a，即2b＝eq \r(a2＋b2)，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，故选A．
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：方法一：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，即e2＝eq \f(1,4)，所以e＝eq \f(1,2)或e＝－eq \f(1,2)(舍去)．
方法二：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，所以eq \f(bc,a)＝eq \f(1,4)×2b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故选B．
4．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( D )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)(x－3)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)＋b2))x2－eq \f(3,2)a2x＋eq \f(9,4)a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为eq \f(\f(3,2)a2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)＋b2)))＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D．
5．若AB为过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为( B )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：如图，S△ABF1＝S△AOF1＋S△BOF1＝2S△AOF1.
又∵OF1＝c＝3为定值，∴点A与(0,4)重合时，OF1边上的高最大，
此时S△AOF1的面积最大为eq \f(1,2)×4×3＝6.
∴S△ABF1的最大值为12，故选B．
6．已知A，B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，则|k1|＋|k2|的最小值为( A )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
解析：设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，则k1＝eq \f(y,x＋a)，k2＝eq \f(y,a－x)，又因为椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2)＝eq \f(1,2)，|k1|＋|k2|＝eq \f(|y|,x＋a)＋eq \f(|y|,a－x)≥
2eq \r(\f(y2,a2－x2))＝eq \f(2b,a)＝1，故选A．
7．已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则|eq \(AF,\s\up6(→))|＝( A )
A．eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．3
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq \f(4,3)，y0＝eq \f(1,3)n.将x0，y0代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)n))2＝1.解得n2＝1，∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \r(2－12＋n2)＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，故选A．
8．(多选题)已知直线y＝3x＋2被椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是( ACD )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C、D中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选ACD．
二、填空题
9．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点到直线y＝eq \r(3)x的距离是eq \f(\r(3),2).
解析：已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线eq \r(3)x－y＝0的距离为eq \f(|\r(3)－0|,\r(3＋1))＝eq \f(\r(3),2).
10．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为eq \f(5,3).
解析：由a2＝5，b2＝4，得c2＝1，则右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－2，,4x2＋5y2＝20))得3x2－5x＝0，解得x＝0或x＝eq \f(5,3)，所以|AB|＝eq \f(5,3)×eq \r(1＋22)＝eq \f(5\r(5),3)，又点O到直线AB的距离为d＝eq \f(|－2|,\r(1＋22))＝eq \f(2,\r(5))，因此S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \f(5\r(5),3)×eq \f(2,\r(5))＝eq \f(5,3).
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2＋eq \f(3,2)y2＝1.
解析：不妨设点A在第一象限，如图，
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,3)，－\f(b2,3)))，
代入x2＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(25c2,9)＋eq \f(b4,9b2)＝1，
又c2＝1－b2，∴b2＝eq \f(2,3).
故椭圆E的方程为x2＋eq \f(3,2)y2＝1.
三、解答题
12．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,4)＝1(a>2)，
其离心率为eq \f(\r(3),2)，故eq \f(\r(a2－4),a)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝4，
故椭圆C2的方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.
(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入到eq \f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以xeq \\al(2,A)＝eq \f(4,1＋4k2).
将y＝kx代入到eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以xeq \\al(2,B)＝eq \f(16,4＋k2).
又由eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，得xeq \\al(2,B)＝4xeq \\al(2,A)，即eq \f(16,4＋k2)＝eq \f(16,1＋4k2)，
解得k＝±1.故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
13．已知离心率为eq \f(\r(2),2)的椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝eq \f(\r(2),2)x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为eq \f(c,a)＝eq \f(1,\r(2))，所以设a＝eq \r(2)n，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为eq \f(x2,2n2)＋eq \f(y2,n2)＝1.代入点A的坐标得eq \f(1,2n2)＋eq \f(1,2n2)＝1，n2＝1，
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(2),2)x＋m，,x2＋2y2＝2))得x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋\r(2)mx＋m2))＝2，
即x2＋eq \r(2)mx＋m2－1＝0，x1＋x2＝－eq \r(2)m，x1·x2＝m2－1，Δ＝2m2－4(m2－1)>0，m2b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析：设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b1)，右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得eq \f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，∴c＝eq \r(2)，∴a2＝b2＋c2＝3.∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)不存在，理由如下：
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))
消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(3,2)m，x1x2＝eq \f(3m2－1,4)，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－eq \f(3,2)m＋2m＝eq \f(m,2).
由题意知Δ>0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)>0，
解得－2