2025年高考数学一轮复习-3.4-函数的应用-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-3.4-函数的应用-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)＝xf (x)．若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
2．已知函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f (x)＝ax－1，则f (2 024)＝( )
A．－1 B．－2
C．0 D．2
3．已知函数f (x－1)为偶函数，且函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f (1－2x)＜f (－7)的解集为( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
4．若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，对∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]＞0，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称
B．函数f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称
C．在区间(2，3)上，f (x)单调递减
D．f −72＞f 23
5．已知定义在R上的偶函数f (x)，∀x∈R，有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，当0≤x≤3时，f (x)＝2x－6，则f (2 023)＝( )
A．0 B．－2
C．－4 D．2
6．)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：f (x)是奇函数；
乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称；
丙：f (22)＝0；
丁：f (x＋6)＝f (x)．
如果有且仅有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
7．已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋f (2－x)＝4，g(x)＝f (x－1)＋1，若g(x＋1)为偶函数，且f (2)＝0，则g(2 022)＋g(2 023)＝( )
A．5 B．4
C．3 D．0
8．已知函数f (x)的定义域为R，若f (2－x)＝f (x)，且f (x＋2)＋2为奇函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)＝( )
A．－5 085 B．－4 046
C．985 D．2 046
二、多项选择题
9．已知函数f (x)为R上的奇函数，g(x)＝f (x＋1)为偶函数，下列说法正确的有( )
A．f (x)图象关于直线x＝－1对称
B．g(2 023)＝1
C．g(x)的周期为4
D．对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)
10．(2024·江苏连云港期中)已知函数f (x)的定义域是R，函数f (x)是偶函数，f (2x－1)＋1是奇函数，则( )
A．f (0)＝－1
B．f (1)＝－1
C．4是函数f (x)的一个周期
D．函数f (x)的图象关于直线x＝9对称
三、填空题
11．已知定义在R上的函数f (x)满足f (－x)＝－f (x)，f (3－x)＝f (x)，则f (2 025)＝________．
12．若函数f (x)称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f (x)＋f (2a－x)＝2b，则a＝2，b＝2的一个“准奇函数”为________．(填写解析式)
13．已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
14．已知函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，若实数a满足f (a)＋f (1－2a)>0，则a的取值范围是________
参考答案
1．C [易知g(x)＝xf (x)在R上为偶函数，
∵奇函数f (x)在R上是增函数，且f (0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又3＞lg25.1＞2＞20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
∴g(3)＞g(lg25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.故选C.]
2．A [根据题意，函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f (x)的对称轴为直线x＝－1，
则有f (x)＝f (－2－x)，又由函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，
则f (x)＝－f (2－x)，则有f (－2－x)＝－f (2－x)，则f (x＋4)＝－f (x)，
则有f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数，则f (2 024)＝f (0＋253×8)＝f (0)＝－1.故选A.]
3．A [因为f (x－1)为偶函数，所以f (x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f (x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f (1－2x)＜f (－7)＝f (5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.故选A.]
4．C [f (4－x)＝f [2－(x－2)]＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)，即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)的图象关于点(2，0)成中心对称，A错误；
∵f (2－x)＝f (x)，∴f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，B错误；
根据题意可得，f (x)在(0，1)上单调递增．
∵f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，点(2，0)或中心对称，则f (x)在(2，3)内单调递减，C正确；
又∵f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，
∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4，
则f −72＝f 12＜f 23，D错误．故选C.]
5．C [依题意∀x∈R，有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，
令x＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)，
所以f (3)＝0，故f (x＋6)＝f (x)，
所以f (x)是周期为6的周期函数，
故f (2 023)＝f (6×337＋1)＝f (1)＝2×1－6＝－4.故选C. ]
6．D [甲正确时，f (x)＝－f (－x)；乙正确时，f (x)＝－f (4－x)，
若甲、乙都正确，则f (x)＝－f (－x)＝f (4＋x)，则周期T＝4，
则由f (2)＝－f (－2)，f (2)＝f (－2)，可得f (2)＝0，
则f (22)＝f (2)＝0，故丙正确；
丁正确时，则f (x)的周期为6，这与上面得到的周期T＝4互相矛盾．
由四个命题有且仅有一个假命题，则丁错误．故选D.]
7．B [∵f (x)＋f (2－x)＝4，
∴f (x)以点(1，2)为对称中心，且f (1)＝2.
∵g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f (x)＋1＝f (－x)＋1，
∴f (x)为偶函数，以y轴为对称轴．
∴f [－(2－x)]＝f (2－x)，即f (x－2)＝f (2－x)，
由f (x)＋f (2－x)＝4知，f (x＋2)＋f (x)＝4，
∴f (x＋2)＝f (2－x)，f (x＋2)＝f (x－2)，
从而f (x＋2＋2)＝f (x＋2－2)，即f (x＋4)＝f (x)，
∴f (x)的周期为4，∴g(x)的周期为4，故g(2 022)＋g(2 023)＝g(2)＋g(－1)＝f (1)＋1＋f (－2)＋1＝2＋1＋0＋1＝4.
故选B.]
8．B [令g(x)＝f (x)＋2，
因为f (2－x)＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(2－x)＝g(x)，
因为f (x＋2)＋2为奇函数，所以f (x)的图象关于点(2，－2)对称，且f (2)＋2＝0，
所以f (2)＝－2，
所以函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，即函数g(x＋2)为奇函数，
所以g(－x＋2)＝－g(x＋2)，
所以g(x＋2)＝－g(x)，
所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，
即f (x＋4)＋2＝f (x)＋2，所以f (x＋4)＝f (x)，
所以函数f (x)是以4为周期的周期函数，
因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以f (0)＝f (2)＝－2，
因为f (x)的图象关于点(2，－2)对称，
所以f (1)＋f (3)＝2f (2)＝－4，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－8，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)＝－8×2 0244－f (0)＝－4 046.
故选B.]
9．ACD [由f (x)的对称中心为点(0，0)，对称轴为直线x＝1，
得f (x)的图象也关于直线x＝－1对称，且f (x)＝f (2－x)，A，D正确；由A分析知，f (x)＝f (2－x)＝－f (－x)，故f (2＋x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，所以f (x)的周期为4，则g(x)的周期为4，g(2 023)＝f (2 024)＝f (0)＝0，B不正确，C正确．故选ACD.]
10．BC [因为f (2x－1)＋1是R上的奇函数，所以f (－2x－1)＋1＝－[f (2x－1)＋1]，
整理得，f (－2x－1)＋f (2x－1)＝－2，
令x＝0得，2f (－1)＝－2，解得f (1)＝－1，B正确，
将2x替换为x＋1，得f (－x－1－1)＋f (x＋1－1)＝－2，即f (－x－2)＋f (x)＝－2①，
又因为f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
将x替换为x＋2，得f (－x－2)＝f (x＋2)②，
由①②得f (x＋2)＋f (x)＝－2③，则f (x＋4)＋f (x＋2)＝－2④，
③－④得f (x＋4)＝f (x)，
故4是函数f (x)的一个周期，C正确；
因为f (x＋2)＋f (x)＝－2，
所以f (x＋2)＋f (－x)＝－2，
故f (x)关于点(1，－1)中心对称，
又因为4是函数f (x)的一个周期，
所以f (9)＝f (2×4＋1)＝f (1)＝－1，
故f (x)关于点(9，－1)中心对称，D错误，
因为f (x)关于点(1，－1)中心对称，故点(0，f (0))与点(2，f (2))关于点(1，－1)中心对称，无法得到f (0)＝－1，A错误．故选BC.]
11．0 [用－x替代x，得到f (x＋3)＝f (－x)＝－f (x)，所以T＝6，所以f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)．因为f (3－x)＝f (x)，所以f (3)＝f (0)＝0．所以f (2 025)＝0．]
12．f (x)＝2x−3x−2(x≠2) (答案不唯一) [由f (x)＋f (2a－x)＝2b，知“准奇函数”f (x)的图象关于点(a，b)对称，若a＝2，b＝2，即f (x)图象关于点(2，2)对称，如y＝1x向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，得到f (x)＝2＋1x−2＝2x−3x−2，故其图象就关于点(2，2)对称．]
13．D [因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以g(2－x)＝g(x＋2)，
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f (x－2)，
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (x)＋g(x＋2)＝5，
代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，
即f (x)＋f (x－2)＝－2，
所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10，
f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10.
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，
即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3.
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5，
联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，
所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6，
因为f (x)＋g(x＋2)＝5，
所以f (1)＝5－g(3)＝－1.
所以＝f (1)＋f (2)＋[f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24.
故选D.]
14．(0，1) [对于函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，
有1+x>0，1−x>0，解得－1－f (1－2a)＝f (2a－1)，
所以−1