湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为( )

A. B. C. D.
3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为( )

A. B. C. D.
4、已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是( )
A. B. C. D.
5、已知正方体中异面直线与所成角为( )
A.45 B.60 C.90 D.30
6、已知D，E分别是的边BC和AC的中点，若，，则( )
A. B. C. D.
7、已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
8、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120的A、B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地( )

A. B.
C. D.
二、多项选择题
9、已知a，，，，则下列说法正确的是( )
A.z的虚部是 B.
C. D.z对应的点在第二象限
10、设向量，，则( )
A. B.与的夹角为
C.与共线 D.
11、在中，下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则定为等腰三角形
C.若，则定直角三角形
D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
12、微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞，某学校为了解学生每周行走的步数，从高一、高二两个年级分别随机调查了200名学生，得到高一和高二学生每周行走步数的频率分布直方图，如图所示．

若高一和高二学生每周行走步数的中位数分别为，，平均数分别为，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________
14、已知，，若与为共线向量，则实数__________．
15、下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形序号是__________．（写出所有符合条件的序号）

16、若，则函数最大值为____________.
四、解答题
17、某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2、3、4的人数分别为1、3、2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会.
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X不小于6的概率.
18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为.
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
19、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图：

（1）求直方图中的x的值
（2）估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．
（3）从月平均用电量在，，，内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，求从月平均用电量在内的用户中应抽取多少户？
20、已知正方体.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面
21、已知函数.
（1）求的对称中心；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值.
22、如图所示的两边，，设G是的重心，BC边上的高为AH，过G的直线与AB，AC分别交于E，F，已知，；

（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若最大值为，求边AB的长.
参考答案
1、答案：C
解析：，
故对应点坐标为 ，从而复数对应点在第三象限.
故选:C.
2、答案：D
解析：由该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，
可得，解得，
即扇环的圆心角的大小为.
故选：D.
3、答案：C
解析：直观图中，，，，，，
原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，
该平面图形的面积为.
故选：C
4、答案：B
解析：记这3名男生分别a，b，c，这2名女生分别为D，E，
则从这5名学生中任选2人的情况有
ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，
其中恰有1名女生被选到的情况有aD，aE，bD，bE，cD，cE，共6种，
则所求概率.
故选：B.
5、答案：B
解析：由正方体的性质知：，故与所成角为或其补角，
又为等边三角形，则.

故选：B
6、答案：D
解析：如图，因为D，E分别是的边BC和AC的中点，
.
故选：D

7、答案：C
解析：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故选：C
8、答案：A
解析：由题意，作出示意图，其中，于是，

，，地震地点在C处，
根据正弦定理，，则，
又.
故.
故选：A
9、答案：BC
解析：由复数相等可得解得所以，
对于A，z的虚部是2，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，z对应的点在虚轴上，故D错误.
故选：BC
10、答案：AD
解析：因为，，所以，，故A正确；
因为，，所以，
因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；
因为，，所以，
又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.
故选：AD.
11、答案：ACD
解析：在中，若，则，因此，A正确；
若，则或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；
若，
则，
所以，即，，
所以定为直角三角形，C正确；
三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，
则，因为，
所以，D正确.
故选:ACD.
12、答案：BD
解析：由频率分布直方图，，，
，
则，，
进行数据分析可得:，
解得，，
解得
所以满意度评分中位数，故B正确，
，
，
所以满意度评分平均数，故D正确，
故选：BD.
13、答案：0.98
解析：由题意目标未被击中的概率是，
所以目标被击中的概率为．
故答案为：0.98．
14、答案：-4
解析：因为，，所以，，
因为与为共线向量，所以，解得：.
故答案为：-4.
15、答案：①②
解析：对于①，如图1.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.
又，所以.
因为平面MNP，平面MNP，所以平面MNP.
同理可得平面MNP.
因为平面，平面，，
所以平面平面MNP.
又平面ABC，所以平面MNP，故①正确；

对于②，如图2，连结CD.
因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.
又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，
所以.
因为平面MNP，平面MNP，所以平面MNP，故②正确；

对于③，如图3，连结AC、AD、CD.
因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.
因为平面MNP，平面MNP，所以平面MNP.
同理可得平面MNP.
因为平面ACD，平面ACD，，
所以平面平面MNP.
显然平面ACD，平面ACD，所以平面ACD，且AB与平面ACD不平行，所以AB与平面MNP不平行，故③错误；

对于④：如图4，连接GE,EN，因为M,N为所在棱的中点，则，
故平面MNP即为平面MNEF，由正方体可得，
而平面平面，
若平面MNP，
由平面ABGE可得，
故，显然不正确，故④错误.
故答案为：①②.
16、答案：
解析：，
由于，所以，故，当且仅当时等号成立，
因此，
故答案为：
17、答案：（1）；
（2）
解析：（1）记参加了2次志愿者活动的人为a，参加了3次志愿者活动的人为、、，参加了4次志愿者活动的人为、.
从这6人中随机选出2人.共有、、、、、、、、、、、、、、这15种选法；
其中这2人参加志愿者活动次数相同的有、、、这4种选法.
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为.
（2）由(1)可知，X小于6有、、这3种选法，
故X不小于6的概率.
18、答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1），由正弦定理得，
又的面积为，，解得，
；
（2）由余弦定理有，.
由正弦定理.
（3），，由得，，
，.
.
19、答案：（1）0.0075
（2）众数、中位数、第80百分位数分别为230、224、253.33
（3）5
解析：（1）因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1，
则，
得.
（2）月平均用电量的众数是.
因前3个矩形面积之和为.
前4个矩形面积之和为.
则中位数在内，设为y，则，得，即中位数为224.
因为前4个矩形面积之和为，前5个矩形面积之和为，则第80百分位数在内，
设第80百分位数为a，则，解得，即第80百分位数约为253.33.
（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：.
又由（2）分析可知，月平均用电量为,,,的四组居民对应频率之和为：.
则应抽取居民的户数为：.
20、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：正方体．，，
又，，，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
（2）证明：正方体．
，平面，
平面，，
又，，平面
平面．
21、答案：（1）
（2）最小正周期为；，
（3），
解析：（1）
，
由得，，
所以对称中心；
（2），
，，的最小正周期为，
由，，
得：，，
单调递增区间为，；
（3），
，，
，
，
即：，此时，.
22、答案：（1）3
（2）
（3）2或
解析：（1），
如图所示，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC中点

因为G为重心
所以
因为，，起点相同，终点共线
所以，所以
（2）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
,


所以,
由解之得

在中
在，,
在，中



（3）
=

令，
①若时，，
，得：
解得：或
②若时，
，
解得：（舍去）
综上可得：或