2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的概念及其线性运算【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的概念及其线性运算【含解析】，共12页。

1.(5分)给出下列命题,正确的命题为( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.若a=b,则a与b的方向相同或相反
C.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反
D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同
2.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中不正确的是( )
A.a与λ2a的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.λa=λa
D.-λa=-λa
3.(5分)(2023·汕头模拟)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=( )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a-23b D.23a-13b
4.(5分)(2023·盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是( )
A.AB+AC=2AD
B.AG=13AB+13AC
C.S△ABC=3S△GBC
D.AG=13AB+23AC
7.(5分)(2023·浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为 .
8.(5分)(2023·菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t= .
9.(5分)在锐角△ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,y∈R),则xy= .
10.(10分)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.
【能力提升练】
11.(10分)(2023·沧州模拟)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.
(1)若AO=2OD,求证:OA+OB+OC=0;
(2)若AE=2EB,AO=λAD,求实数λ的值.
12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量FG用AB与AD表示为 .
13.(5分)如图,点G为△ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),则m+n= ;1m+1n的最小值为 .
14.(10分)(2023·钦州模拟)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.
(1)用AB,AC表示AD,BE;
(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.
2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的概念及其线性运算【解析版】(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)给出下列命题,正确的命题为( )
A.向量AB的长度与向量BA的长度相等
B.若a=b,则a与b的方向相同或相反
C.|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反
D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同
【解析】选A.对于A,向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,命题成立;
对于B,当两向量相等时,方向相同,不成立;
对于C,当a,b之一为零向量时,不成立;
对于D,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同.
2.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中不正确的是( )
A.a与λ2a的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.λa=λa
D.-λa=-λa
【解析】选BCD.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同,故A选项正确;
当λ<0时,a与-λa的方向相同,故B选项错误;
当λ<0时,λa<0,故C选项错误;
当λ>0时,-λa<0,故D选项错误.
3.(5分)(2023·汕头模拟)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=( )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a-23b D.23a-13b
【解析】选A.AD=AB+BD=AB+13BC=
AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=23a+13b.
4.(5分)(2023·盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,则m+n=1.
5.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】选A.因为AC=AB+AD,
所以四边形ABCD为平行四边形,
又|AB+AD|=|AB-AD|,所以|AC|=|DB|,
即对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.
6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是( )
A.AB+AC=2AD
B.AG=13AB+13AC
C.S△ABC=3S△GBC
D.AG=13AB+23AC
【解析】选ABC.对于A,由D为BC的中点,则AB+AC=2AD,故A正确;
对于B,D,由AG=2GD,
则AG=23AD=23(12AB+12AC)=13AB+13AC,故B正确,D错误;
对于C,如图,AF⊥BC,GE⊥BC,
由AG=2GD,则ADGD=31,由AF⊥BC,GE⊥BC,则△AFD∽△GED,即AFGE=ADGD=31,S△ABCS△GBC=12·AF·BC12·GE·BC=31,故C正确.
7.(5分)(2023·浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为 .
【解析】由题意BD=BC+CD=2a-b,因为A,B,D三点共线,所以AB,BD共线,
所以存在实数λ,使得2a+pb=λ(2a-b),
所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.
答案:-1
8.(5分)(2023·菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t= .
【解析】因为b-ta与12a-32b共线,
所以b-ta=λ(12a-32b),b-ta=λ2a-3λ2b,
又a,b是两个不共线的向量,
所以-t=λ21=-3λ2,解得t=13.
答案:13
9.(5分)在锐角△ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,y∈R),则xy= .
【解析】由题设可得CA+AM=3(AB-AM),
即4AM=3AB+AC,即AM=34AB+14AC.
又AM=xAB+yAC,则x=34,y=14.
故xy=3.
答案:3
10.(10分)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
【解析】(1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,
CD=3(a-b),
所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,
所以AB,BD共线,
又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.
【解析】(2)因为ka+b与a+kb反向共线,
所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,
所以(k-λ)a=(λk-1)b.
因为a,b是不共线的两个非零向量,
所以k-λ=0λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1,
因为λ<0,所以k=-1.
【能力提升练】
11.(10分)(2023·沧州模拟)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.
(1)若AO=2OD,求证:OA+OB+OC=0;
【解析】(1)因为点D为BC的中点,
所以BD+CD=0,因为OD=OB+BD,
OD=OC+CD,
两式相加得2OD=OB+OC,
所以AO=2OD=OB+OC,
即OA+OB+OC=OA+AO=0.
(2)若AE=2EB,AO=λAD,求实数λ的值.
【解析】(2)由AE=2EB,得AE=23AB,
设AB=a,AC=b,OC=μEC,
则EC=AC-AE=AC-23AB=b-23a,
又OC=AC-AO=AC-λAD=AC-λ(AB+AC)2=(1-λ2)b-λ2a.
所以(1-λ2)b-λ2a=μ(b-23a),
因为a,b不共线,所以1-λ2=μ-λ2=-23μ,
解得λ=45.
【解题指南】(1)由点D为BC的中点可得2OD=OB+OC,再结合已知条件即可证明;
(2)设AB=a,AC=b,OC=μEC,利用向量减法法则可得EC=b-23a,OC=(1-λ2)b-λ2a,
从而可得1-λ2=μ-λ2=-23μ,即可求解.
12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量FG用AB与AD表示为 .
【解析】由题意可得:AE=AB+BE=AB+12AD,FE=FC+CE=14AB-12AD,
所以FG=FE+EG=FE-23AE
=(14AB-12AD)-23(AB+12AD)
=-512AB-56AD.
答案:FG=-512AB-56AD
13.(5分)如图,点G为△ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),则m+n= ;1m+1n的最小值为 .
【解题指南】利用重心的性质以及平面的线性运算可知AG=mAD+nAE,设DG=λGE,由D,G,E三点共线可知AG=1λ+1AD+λλ+1AE,
故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1m+1n的最小值.
【解析】由重心的性质可知AG=23×12(AB+AC)=13(3mAD+3nAE)=mAD+nAE(m>0,n>0),设DG=λGE,
由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,
两式相加得2AG=AD+AE+(1-1λ)DG
=AD+AE+(1-1λ)(AG-AD),整理得AG=1λ+1AD+λλ+1AE,所以m=1λ+1,n=λλ+1,则m+n=1λ+1+λλ+1=1,1m+1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm+mn≥2+2nm·mn=4,
当且仅当nm=mn,即m=n=12时等号成立.
答案:1 4
14.(10分)(2023·钦州模拟)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.
(1)用AB,AC表示AD,BE;
【解析】(1)因为BC=4BD,
所以BD=14BC=14(AC-AB)=14AC-14AB,
所以AD=AB+BD=AB+14AC-14AB=34AB+14AC.
因为AC=3CE,所以AE=23AC,
所以BE=AE-AB=23AC-AB.
(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.
【解析】(2)因为A,M,D三点共线,
所以AM=λAD=3λ4AB+λ4AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=3λ4n=λ4,即m=3n.
因为B,M,E三点共线,
所以AM=kAB+(1-k)AE=kAB+2(1-k)3AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=kn=2(1-k)3.
因为m=3n,所以k=3×23(1-k),解得k=23,
从而m=23,n=29,故m+n=89.