2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x+7在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥−7B. x≤−7C. x>−7D. x<−7
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB中点，若AB=4，则CD的长是( )
A. 1
B. 2
C. 2 3
D. 4
3.下列根式不是最简二次根式的是( )
A. 5B. 0.3C. 3D. 13
4.准备在甲，乙，丙，丁四人中选取成绩稳定的一名参加射击比赛，在相同条件下各人射击10次，已知他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.6，S乙2=1，S丙2=0.8，S丁2=2.3，则应该选择哪位运动员参赛( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.在平面直角坐标系中，将直线y=−3x+2沿y轴向下平移4个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是( )
A. (2,0)B. (0,−2)C. (12,0)D. (0,6)
6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角战互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
7.已知一次函数y=2x−4，下列结论错误的是( )
A. 图象与x轴的交点坐标(2,0)B. 图象与y轴的交点坐标(0,−4)
C. y随着x的增大而减小D. 当x<2时，y<0
8.下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A. 0.3，0.4，0.5B. 6，8，10C. 4，5，6D. 35,45,1
9.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则添加①BE=DF；②AE//CF；③AE=CF；④∠1=∠2中任意一个条件，能够使△ABE≌△CDF的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为( )
A. 30∘B. 45∘C. 22.5∘D. 60∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简 32的结果为______.
12.若点A(a,b)在一次函数y=−x+2图象上，则a+b的值是______.
13.一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是______.
14.如图，在菱形ABCD中，∠B=60∘，连接AC，若AC=6，则菱形ABCD的周长为______.
15.直线y=−34x+3与x轴、y轴分别交于点A、B两点，则原点到直线AB的距离为______.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：(1)(2 48−3 27)÷ 6；
(2)12( 2+ 3)−34( 2+ 27).
17.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD.
求证：四边形OCED是菱形．
18.(本小题6分)
已知x=2+ 3，求代数式(7−4 3)x2+(2− 3)x+ 3的值.
19.(本小题6分)
一次函数y=kx+b当x=1时，y=5；当x=−1时，y=1.
(1)求k和b的值；
(2)求出该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积.
20.(本小题8分)
某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“杜绝校园霸凌，共创友爱校园”相关知识竞赛.随机从八，九两个年级各抽取20名学生的竞赛成绩，并对他们的成绩(单位：分，满分100分)进行统计、分析，过程如下：
【收集数据】
八年级：65、70、75、75、80、80、80、85、85、85、90、90、90、90、90、95、95、95、100、100
九年级：60、65、70、75、75、80、80、80、80、80、85、85、90、90、90、95、95、95、100、100
【整理数据】
【分析数据】
请根据以上统计分析的过程和结果，解答下列问题.
(1)上述表格中，a=______，b.=______，c=______.
(2)若九年级共有150人参与了此次知识竞赛，请估计九年级成绩大于80分的人数；
(3)你认为哪个年级对“杜绝校园霸凌，共创友爱校园”相关知识掌握得更好？请说明理由.
21.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的面积与周长；
(2)∠BCD是直角吗？
22.(本小题10分)
夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱.某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货3kg甲种小龙虾和8kg乙种小龙虾，需支付235元；若进货7kg甲种小龙虾和10kg乙种小龙虾，需支付375元.
(1)求甲，乙两种规格的小龙虾的进价；
(2)根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，乙种小龙虾的销售数量x(kg)与销售额y(元)的关系如图所示，请写出y与x之间的函数关系式并写出乙种小龙虾的售价.
(3)在(2)的结论下，该水产经销商计划每天进货300kg的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，甲种小龙虾售价为44元/kg，求出该水产商每天的最大利润.
23.(本小题11分)
已知点P是正方形ABCD的对角线AC上一点.
(1)如图1，求证：PB=PD；
(2)如图2，过点P作PB的垂线，交边CD于点Q，求证：△PQD是等腰三角形；
(3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为4，AP= 2，求△PQD的面积.
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系内，直线l1:y=12x+1与直线l2:y=−12x+3相交于点M.点A是直线l1上一动点，过点A分别作坐标轴的平行线交l2于点B、D，再过点D作y轴的平行线交l1于点C，连接BC.设点A的横坐标为t.
(1)当t=4时，计算线段AC、BD的长度；
(2)证明：当点A与M不重合时，四边形ABCD是矩形；
(3)设四边形ABCD的周长为C，当C<6时，求出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵式子 x+7在实数范围内有意义，
∴x+7≥0，
∴x≥−7，
故选：A.
根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，明白“二次根式有意义的条件，根号内的式子要大于等于0”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，CD=12AB=2，
故选：B.
根据直线三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可．
本题考查了直线三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握直线三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键.根据最简二次根式的定义逐个判断即可.
【解答】
解：A.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.不是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选B.
4.【答案】A
【解析】解：∵S甲2=0.6，S乙2=1，S丙2=0.8，S丁2=2.3，
∴S甲2∴射击成绩最稳定的是甲，应该选择甲运动员参赛；
故选：A.
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】B
【解析】解：直线y=−3x+2沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y=−3x+2−4=−3x−2，
当x=0时，y=−3×0−2=−2，
∴该新直线与y轴的交点坐标是(0,−2)，
故选：B.
先根据一次函数的平移规律，得出新直线的函数解析式，再求出当x=0时的函数值，即可解答．
本题考查了一次函数的平移，一次函数与y轴的交点，解题的关键是掌握一次函数的平移规律：上加下减，左加右减，以及求一次函数与坐标轴交点坐标的方法．
6.【答案】B
【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B.
根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
7.【答案】C
【解析】解：A、当y=0时，x=2，即图象与x轴的交点坐标(2,0)，故不符合题意．
B、当x=0时，y=−4，即图象与y轴的交点坐标(0,−4)，故不符合题意．
C、由于k=2>0，所以y随着x的增大而增大，故符合题意．
D、由于k=2>0，所以y随着x的增大而增大，图象与x轴的交点坐标(2,0)，所以当x<2时，y<0，故不符合题意．
故选：C.
根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征进行分析解答．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，这是中考常考题型，难度不大．
8.【答案】B
【解析】解：A、0.32+0.42=0.52，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，但不是整数，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B、62+82=102，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项符合题意；
C、42+52≠62，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项不合题意；
D、(35)2+(45)2≠12，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B.
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
当BE=DF时，由SAS可证△ABE≌△CDF，所以①符合题意；
当AE//CF时，可得∠AEF=∠EFC，即∠AEB=∠CFD，由AAS可证△ABE≌△CDF，所以②符合题意；
当AE=CF时，不能判定△ABE≌△CDF，所以③不符合题意；
当∠1=∠2时，由ASA可证△ABE≌△CDF，所以④符合题意．
∴满足题意的有3个．
故选：C.
根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可．
=本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90∘，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=22.5∘，∠ACD=67.5∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠A=90∘−67.5∘=22.5∘，
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，E是斜边AB的中点，
∴CE=12AB=AE，
∴∠ECA=∠A=22.5∘，
∴∠ECD=∠ACD−∠ECA=67.5∘−22.5∘=45∘，
故选：B.
根据题意分别求出∠ACD和∠BCD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE=AE，得到∠ECA=∠A=22.5∘，计算即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】4 2
【解析】解： 32= 16×2=4 2.
故答案为：4 2.
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了最简二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：由于点A(a,b)在一次函数y=−x+2图象上，
故将点A(a,b)代入y=−x+2中，
得a=−b+2，化简可得a+b=2，
故答案为：2.
把点A(a,b)代入y=−x+2，得a+b=2，即可求解．
本题主要考查代数式求值以及一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴该直角三角形的斜边长为 52+122=13，
故答案为：13.
根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60∘，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，
∴菱形ABCD的周长为6×4=24，
故答案为：24.
由菱形可得AB=BC=CD=AD，进而得到△ABC为等边三角形，得到AB=BC=AC=6，即可求出菱形的周长．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
当y=0时，−34x+3=0，解得：x=4，
∴A(4,0)，
∴OA=4，
当x=0时，y=3，
∴B(0,3)，
∴OA=3，
∴AB= OA2+OB2=5，
∵S△AOB=12OA×OB=12OC×AB，
∴12×4×3=12OC×5，
解得：OC=125.
故答案为：125.
根据坐标轴上点的坐标特点，代入直线解析式求出点A，B的坐标，再由勾股定理求出AB，再由S△AOB=12OA×OB=12OC×AB，即可求解．
本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(2 48−3 27)÷ 6
=(8 3−9 3)÷ 6
=− 3÷ 6
=− 22；
(2)12( 2+ 3)−34( 2+ 27)
= 22+ 32−3 24−9 34
=− 24−7 34.
【解析】(1)先算括号里，再算括号外，即可解答．
(2)先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
18.【答案】解：∵x=2+ 3，
∴(7−4 3)x2+(2− 3)x+ 3
=(7−4 3)(2+ 3)2+(2− 3)(2+ 3)+ 3
=(7−4 3)(7+4 3)+(4−3)+ 3
=49−48+1+ 3
=2+ 3.
【解析】把x=2+ 3代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解．
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式．
19.【答案】解：(1)设一次函数解析式：y=kx+b(k≠0)，
将(1,5)，(−1,1)代入解析式，
得k+b=5−k+b=1，
解得k=2b=3，
∴函数解析式：y=2x+3；
(2)当x=0时，y=3，
当y=0时，x=2.5，
∴A(−1.5,0)，B(0,3)，
∴OA=1.5，OB=3，
∴S△AOB=12×3×1.5=94.
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)分别求出A，B点坐标，再求△AOB的面积即可．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的解析式与图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式以及求出A，B点坐标是解题的关键．
20.【答案】782.590
【解析】解：(1)九年级的数据从小到大排列：60、65、70、75、75、80、80、80、80、80、85、85、90、90、90、95、95、95、100、100，
70处在第10、11位的两个数的平均数为(80+85)÷2=82.5，
因此b=82.5.
八年级从小到大排列：65、70、75、75、80、80、80、85、85、85、90、90、90、90、90、95、95、95、100、100，
八年级的出现次数最多的是90，因此众数是90，即c=90.
故答案为：7，82.5，90；
(2)150×1020=75(人).
答：估计九年级成绩大于80分的人数有75人；
(3)八年级，理由是：八年级的平均数、中位数、众数都比九年级的大．
(1)数出九年级70(2)抽查九年级20人中成绩大于80分的人数有10人，因此九年级成绩大于80分的人数占抽查人数的1020，求出九年级成绩大于80分的人数即可；
(3)依据表格中平均数、中位数、众数等比较做出判断即可．
本题考查了频数(率)分布表表示数据的特征，中位数、众数的意义，样本估计总体，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)由勾股定理可得：AB2=52+12=26，
则AB= 26，
∵BC2=42+22=20，
∴BC=2 5
∵CD2=22+12=5，
∴CD= 5，
∵AD2=12+42=17，
∴AD= 17，
故四边形ABCD的周长为： 26+2 5+ 5+ 17= 26+3 5+ 17.
四边形ABCD的面积为：5×5−12×(1×5+4×2+2×1+4×1)−1×1=25−10.5=14.5；
(2)∠BCD是直角，理由如下：
由(1)得：BC2=20，CD2=5，而BD2=32+42=25，
∴DC2+BC2=BD2，
∴∠BCD=90∘.
【解析】(1)利用勾股定理求出各边长，将四条边相加得出周长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
(2)利用勾股定理的逆定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
22.【答案】解：(1)设甲种小龙虾的进价是x元/kg，乙种小龙虾的进价是y元/kg，
根据题意得3x+8y=2357x+10y=375，
解得：x=25y=20，
答：甲种小龙虾的进价是25元/kg，乙种小龙虾的进价是20元/kg，
(2)当0≤x≤80时，设正比例函数y=kx，将点(80,3200)代入得，3200=80k，解得k=40，
∴y=40x(0≤x≤80)，
当x≥80时，设函数解析式为y=mx+n，将点(80,3200).(100,3920)代入得：
80m+n=3200100m+n=3920，解得m=36n=320，
∴y=36x+320.
∴y与x之间的函数关系式为：y=40x(0≤x≤80)36x+320(x≥80)，
乙种小龙虾的售价分情况：当x≤80时，售价40元/kg，
当x≥80时售价为3920−3200100−80=36(元/kg)
(3)设每天购进甲种小龙虾tkg，则购进乙种小龙虾(300−t)kg，
根据题意得t≥2(300−t)，解得300≥t≥200，
设最大利润为W=(44−25)t+80×(40−20)+(36−20)(300−t−80)=3t+5120，
∵3>0，
∴W随t的增大而增大，
∴当t=300时，W取到最大值，最大值为3×300+5120=6020.
答：该水产商每天的最大利润6020元．
【解析】(1)设甲种小龙虾的进价是x元/kg，乙种小龙虾的进价是y元/kg，根据题意列出方程组求出x、y值即可；
(2)根据图象分情况讨论列出y与x之间的函数关系式并写出乙种小龙虾的售价即可；
(3)设每天购进甲种小龙虾tkg，则购进乙种小龙虾(300−t)kg，根据题意得t≥2(300−t)，解得300≥t≥200，据此分析函数W=3t+5120的最值情况．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC为一条对角线，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△BAP≌△DAP(SAS)，
∴PB=PD；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，
∵PB⊥PQ，
∴∠PBC+∠PQC=180∘，
∵∠PQD+∠PQC=180∘，
∴∠PBC=∠PQD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PQD=∠PDC，
∴PQ=PD；
(3)解：如图2，过点P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，
∵正方形ABCD的边长为4，AP= 2，
∴PN= 2× 22=1，PM=4−1=3，
∵PD=PQ，
∴DQ=2MD=2PN=1×2=2，
△PQD的面积=12×2×(4−3)=1.
【解析】(1)根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAP=∠DAP，然后利用“边角边”证明△BAP和△DAP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)根据四边形的内角和等于360∘求出∠PBC+∠PQC=180∘，然后求出∠PBC=∠PQD，再根据等角的余角相等求出∠PBC=∠PDC，从而得到∠PQD=∠PDC，再根据等角对等边证明即可；
(3)过点P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，根据正方形性质求出PM、PN，再求出DQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
24.【答案】(1)解：当t=4时，A(4,3)，B(4,1)，C(0,1)，D(0,3)，
∴AC=2 5，BC=2 5；
(2)证明：∵AB//y轴，CD//y轴，
∴AB//CD，
∵AD//x轴，BC//x轴，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形；
(3)解：∵A(t,12t+1)，
∴B(t,−12t+3)，C(4−t,−12t+3)，D(4−t,12t+1)，
当12x+1=−12x+3时，解得x=2，
∴M(2,2)，
当t>2时，AB=t−2，AD=2t−4，
∴C=2(t−2+2t−4)=6t−12<6，
解得t<3，
∴2当t<2时，AB=2−t，AD=4−2t，
∴C=2(2−t+4−2t)=12−6t<6，
解得t>1，
∴1综上所述：2【解析】(1)分别求出A、B、C、D四点坐标，再求AC、BD的长即可；
(2)先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB⊥BC，即可证明矩形；
(3)分两种情况讨论：当t>2时，C=6t−12<6，可得2本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．成绩x(分)
60≤x≤70
708090八年级
2
5
8
5
九年级
3
a
5
5
统计量
平均数
中位数
众数
八年级
85.75
87.5
c
九年级
83.5
b
80