2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下图中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.方程3x2−8x−10=0的二次项系数和一次项系数分别为( )
A. 3和8B. 3和−8C. 3和−10D. 3和10
3.抛物线y=−12x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为( )
A. y=−12(x+1)2B. y=−12(x−1)2C. y=−12x2+1D. y=−12x2−1
4.已知点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−|k|x(k是常数)的图象上，则下列关系正确的是( )
A. y15.如图，在⊙O中，相等的弦AB、AC互相垂直，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，则四边形OEAD为( )
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
6.已知点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，则a、b的值分别是( )
A. a=1，b=5B. a=5，b=1
C. a=−5，b=1D. a=−5，b=−1
7.Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是( )
A. 当r=2时，直线AB与⊙C相交B. 当r=3时，直线AB与⊙C相离
C. 当r=2.4时，直线AB与⊙C相切D. 当r=4时，直线AB与⊙C相切
8.用配方法解方程x2+6x−4=0，下列变形正确的是( )
A. (x+3)2=5B. (x+3)2=13C. (x−3)2=−13D. (x+3)2=−5
9.如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，则下列等式不成立的是( )
A. DCBE=CFBFB. ABBE=DFEFC. BFAD=BEAED. DCAE=DEDF
10.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列结论：①abc>0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0)；④a+c>b，其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知函数y=−2(x+1)2+2，当x>______ 时，y随x的增大而减小．
12.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程为______.
13.如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作一个这样的烟囱冒至少需要______cm2的铁皮．
14.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=14AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为______.
15.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6 m，该抛物线的函数表达式为_____________.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=2，D是边AB上一点．连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是______.
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
17.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=8，AD=6 2，AF=4 2，求AE的长．
四、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
若关于x的一元二次方程x2+bx−3=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根.
19.(本小题6分)
如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90∘得到△DEC，点E落在AB上，若BC=2 2，DE=7，求AE的长.
20.(本小题6分)
如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)？
21.(本小题7分)
有这样一个问题：探究函数y=3|x−1|的图象与性质，并解决问题：小聪根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=3|x−1|的自变量x的取值范围是______；
(2)取几组y与x的对应值，填写在下表中，其中m的值为______；
(3)如图，根据(2)中表里各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(4)获得性质，解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数y=3|x−1|的图象是轴对称图形，它的对称轴是______；
②若点M(x1,y1)、N(x2,y2)在函数y=3|x−1|的图象上，且1”).
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为
点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AE=DE，DF=2，求AD的长．
23.(本小题10分)
网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y=−100x+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
24.(本小题10分)
如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N.
(1)求证：MN=MC；
(2)若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；
(3)如图②，连接NC交BD于点G.若BG：MG=3：5，求NG⋅CG的值．
25.(本小题12分)
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(12,52)和B(4,m)，直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连结AC、BC，是否存在一点P，使△ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若△PAC与△PDE相似，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
根据把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2.【答案】B
【解析】解：3x2−8x−10=0的二次项系数和一次项系数分别为3，−8，
故选：B.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线y=−12x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：y=−12(x+1)2.
故选：A.
直接根据“左加右减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵−|k|<0，
∴此函数图象在二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−|k|x(k是常数)的图象上，
∴点A(−1,y1)在第二象限，y1>0，B(2,y2)，C(3,y3)在第四象限，0∴y2故选：C.
首先判断−|k|<0，可得在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小．
本题考查了反比例函数的增减性，比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．
先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=12AB，AE=12AC，且∠ADO=∠AEO=90∘，加上∠DAE=90∘，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB=AC，所以AD=AE，于是可判断四边形ADOE是正方形．
【解答】
证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD=12AB，AE=12AC，∠ADO=∠AEO=90∘，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90∘，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形；
故选：A.
6.【答案】D
【解析】解：由题意，得
a=−5，b=−1，
故选：D.
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】C
【解析】
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= 32+42=5，
由三角形面积公式得：12×3×4=12×5×CD，
CD=2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故选：C.
过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半的平方可得．
【解答】
解：∵x2+6x=4，
∴x2+6x+9=4+9，即(x+3)2=13，
故选：B.
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，CD//AB，
∵CD//AB，
∴CD//BE，
∴△CFD∽△BFE，
∴DCBE=CFBF=DFEF，故选项A正确，不符合题意；
∵AB=CD，
∴ABBE=DFEF，故选项B正确，不符合题意；
∵AD//BC，
∴△BFE∽△ADE，
∴BFAD=BEAE，故选项C正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，∠A=∠C，
∴∠CDF=∠AED，
∴△CDF∼△AED，
∴DCAE=DFDE≠DEDF，故选项D不正确，符合题意．
故选：D.
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB=CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，所以①正确；
∵点(−2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0)，所以③正确；
∵x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
∴a+c故选：C.
利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a<0，则可对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对③进行判断；利用x=−1时，y<0可对④进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】1
【解析】解：
∵y=−2(x+1)2+2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为x=−1，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，
故答案为：−1.
由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k).
12.【答案】x2+x+1=91
【解析】解：根据题意列方程得：x2+x+1=91.
故答案为：x2+x+1=91.
由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个(同样数目)支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
13.【答案】2000π
【解析】解：圆锥形的烟囱冒的侧面积=12⋅80π⋅50=2000π(cm2).
故答案为2000π.
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】2：1
【解析】解：过C点作CP//AB，交DE于P，如图，
∵PC//AE，
∴PCAE=CMAM，
而AM=CM，
∴PC=AE，
∵AE=14AB，
∴CP=14AB，
∴CP=13BE，
∵CP//BE，
∴CPBE=CDBD=13，
∴BD=3CD，
∴BC=2CD，即BC：CD为2：1，
故答案为：2：1.
过C点作CP//AB，交DE于P，由PC//AE知PCAE=CMAM，且AM=CM，得PC=AE，根据AE=14AB得CP=14AB、CP=13BE，由CP//BE知CPBE=CDBD=13，可得BD=3CD，继而得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
15.【答案】y=−14(x−4)2+6
【解析】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标是(4,6)，函数图象过点(0,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+6，
则2=a(0−4)2+6，
解得，a=−14，
即抛物线的解析式为y=−14(x−4)2+6，
故答案为：y=−14(x−4)2+6.
根据题意可以得到抛物线的顶点坐标，可以设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线过点(0,2)，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】 55【解析】解：∵∠ACB=90∘，AC=1，BC=2，
∴AB= AC2+BC2= 5，
当点E落在AB上时，如图，
∵将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，
∴∠ADC=∠EDC=90∘，
∵csA=ADAC=ACAB，
∴AD1=1 5，
∴AD= 55；
当点E落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，
∴∠ACD=∠ECD=45∘，
∵DH⊥AC，
∴∠HDC=∠HCD=45∘，
∴CH=DH，
∵tanA=DHAH=BCAC=2，
∴HD=2AH=CH，
∵AC=AH+CH=AH+2AH=1，
∴AH=13，CH=23=DH，
∴AD= AH2+DH2= (13)2+(23)2= 53，
∴当点E在△ABC的内部(不含边界)时，AD长度的取值范围是 55故答案为： 55由勾股定理可而且AC的长，分别求出当点E落在AB上时和当点E落在BC上时，AD的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点A落在AC和BC上时AD的值是本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180∘；
∵∠AFE+∠AFD=180∘，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=8.
∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
即6 2DE=4 28，
∴DE=12.
∵AD//BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中，∠EAD=90∘，DE=12，AD=6 2，DE2=AE2+AD2，
∴AE= DE2−AD2
= 122−(6 2)2
=6 2.
【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，得出∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180∘，证得∠AFD=∠C，从而推知：△ADF∽△DEC；
(2)由△ADF∽△DEC，得出比例式，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
18.【答案】解：方法1：把x=1代入方程x2−bx−3=0得：1+b−3=0，
解得b=2，
∴原方程为x2+2x−3=0，
解得：x1=1，x2=−3.
∴b的值为b=2，方程的另一个根为x=−3.
方法2：设方程的一个根为x1=1，另一个根为x2，
由根与系数的关系，得：x1+x2=−b，x1x2=−3，
即1+x2=−b，x2=−3，
解得b=2.
∴b的值为b=2，方程的另一个根为x=−3.
【解析】方法1：根据一元二次方程的解的定义把x=1代入原方程中求出b的值，再解原方程求出另一个根即可；
方法2：利用根与系数的关系求出方程另一个根，进而求出b的值即可．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
19.【答案】解：由旋转得AB=DE=7，∠BCE=90∘，CE=BC=2 2.
∴BE= CE2+BC2= (2 2)2+(2 2)2=4，
∴AE=AB−BE=7−4=3.
【解析】由旋转的性质得到AB=DE=7，∠BCE=90∘，CE=BC=2 2，再利用勾股定理求出BE的长即可求出AE的长．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
20.【答案】解：
方法一：
设竖条的宽度是2xcm，横条的宽度是3xcm，则
2⋅30⋅3x+2⋅20⋅2x−4⋅2x⋅3x=14×20×30
180x+80x−24x2=150
12x2−130x+75=0
解得x1≈0.61或x2≈10.2(舍去).
3×0.61≈1.8cm，2×0.61≈1.2cm.
横条宽1.8cm，竖条宽1.2cm.
方法二：
设竖条的宽度是2xcm，横条的宽度是3xcm，则
(20−6x)(30−4x)=34×20×30
解得x1≈0.61或x2≈10.2(舍去).
3×0.61≈1.8cm，2×0.61≈1.2cm.
横条宽1.8cm，竖条宽1.2cm.
【解析】设竖条的宽度是2x，横条的宽度是3x，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，设出横竖条的宽，以面积做为等量关系列方程求解．
21.【答案】x≠12直线x=1<
【解析】解：(1)函数y=3|x−1|的自变量x的取值范围是x≠1，
故答案为：x≠1；
(2)由题意x=52时，y=3|52−1|=2，
∴m=2，
故答案为2.
(3)函数图象如图所示：
(4)①通过观察、分析、证明，可知函数y=3|x−1|的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x=1；
②若点M(x1,y1)、N(x2,y2)在函数y=3|x−1|的图象上，且1”).
故答案为：直线x=1；<.
(1)根据分式有意义的条件即可得到结论；
(2)把x=52代入函数解析式求出函数值即可．
(3)利用描点法画出函数图象即可．
(4)①根据图象即可得到函数的性质；②根据图象即可得到答案．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)证明：连接OD.
∵AB=AC，∴∠C=∠B.
∵OD=OB，∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1.
∴OD//AC，∴∠2=∠FDO.
∵DF⊥AC，∴∠2=90∘，∴∠FDO=90∘，
即FD⊥OD.
∴FD是圆O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘.
∵AC=AB，∴∠3=∠4.
∴ED=DB，∵AE=DE，∴DE=DB=AE.
∴∠B=2∠4，∴∠B=60∘，∠5=120∘，
∴△ABC是等边三角形，∠C=60∘.
在Rt△CFD中，sinC=DFCD，CD=2sin60∘=2 32=43 3，
∴DB=43 3，AB=BC=83 3，∴AO=43 3.
∴lAD=nπR180=8 39π.
【解析】(1)连接OD.根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；
(2)根据弧长公式，应先求半径和圆心角的度数．根据等弧所对的圆心角相等可得∠5=120∘；∠3=30∘.根据三角函数可求半径的长，再计算求解．
此题考查了切线的判定，弧长公式的运用等知识点．证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．
23.【答案】解：(1)当y≥4000，即−100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W=(x−6+1)(−100x+5000)−2000=−100x2+5500x−27000，
当10综上所述：W=−100x2+5500x−27000(6≤x≤10)−100x2+5600x−32000(10(2)当6≤x≤10时，W=−100x2+5500x−27000=−100(x−552)2+48625，
∵a=−100<0，对称轴为x=552，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x=10时，W最大值=18000元，
当10∵a=−100<0，对称轴为x=28，
∴当x=28时，W有最大值为46400元，
∵46400>18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
【解析】(1)分两种情况讨论，由日获利=销售单价×数量，可求解；
(2)分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24.【答案】解：(1)如图①，过M分别作ME//AB交BC于E，MF//BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，∠ABD=∠CBD=∠BME=45∘，
∴ME=BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME=MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90∘，
∵∠FME=90∘，
∴∠CME=∠FMN，
∴△MFN≌△MEC(ASA)，
∴MN=MC；
(2)由(1)得FM//AD，EM//CD，
∴AFAB=CEBC=DMBD=25，
∴AF=2.4，CE=2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN=EC=2.4，
∴AN=4.8，BN=6−4.8=1.2，
∴AN=4BN；
(3)如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90∘得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90∘，
∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH=45∘，∠DCM=∠BCH，
∴∠MBH=90∘，∠MCH=90∘，
∵MC=MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC=45∘，
∴∠NCH=45∘，
∴△MCG≌△HCG(SAS)，
∴MG=HG，
∵BG：MG=3：5，
设BG=3a，则MG=GH=5a，
在Rt△BGH中，BH=4a，则MD=4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD=6 2，
∴DM+MG+BG=12a=6 2，
∴a= 22，
∴BG=3 22，MG=5 22，
∵∠MGC=∠NGB，∠MCG=∠ABG=45∘，
∴△MGC∽△NGB，
∴GCGB=MGNG，
∴CG⋅NG=BG⋅MG=152.
【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
(1)作ME//AB、MF//BC，证四边形BEMF是正方形得ME=MF，再证∠CME=∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
(2)由FM//AD，EM//CD知AFAB=CEBC=DMBD=25，据此得AF=2.4，CE=2.4，由△MFN≌△MEC知FN=EC=2.4，AN=4.8，BN=6−4.8=1.2，从而得出答案；
(3)把△DMC绕点C逆时针旋转90∘得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG=HG，由BG：MG=3：5可设BG=3a，则MG=GH=5a，继而知BH=4a，MD=4a，由DM+MG+BG=12a=6 2得a= 22，知BG=3 22，MG=5 22，证△MGC∽△NGB得GCGB=MGNG，从而得出答案．
25.【答案】解：(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4,6)，
∵A(12,52)，B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴14a+12b+6=5216a+4b+6=6，解得a=2b=−8，
∴抛物线的解析式为y=2x2−8x+6；
(2)设动点P的坐标为(n,n+2)，则C点的坐标为(n,2n2−8n+6)，
∵点P是线段AB上异于A、B的动点，
∴12∴PC=(n+2)−(2n2−8n+6)，
=−2n2+9n−4，
∵△ABC的面积等于14，
∴12PC⋅(xB−xA)=14，
12(−2n2+9n−4)(4−12)=14，
2n2−9n+12=0，
△=92−4×1×12<0，
原方程无实数解，
∴不存在一点P，使△ABC的面积等于14；
(3)∵PC⊥x轴，
∴∠PDE=90∘，
∵△PAC与△PDE相似，
∴△PAC也是直角三角形，
①当P为直角顶点，则∠APC=90∘
由题意易知，PC//y轴，∠APC=45∘，因此这种情形不存在；
②若点A为直角顶点，则∠PAC=90∘.
如图1，过点A(12,52)作AN⊥x轴于点N，则ON=12，AN=52.
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=52，
∴OM=ON+MN=12+52=3，
∴M(3,0).
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：3k+b=012k+b=52，解得k=−1b=3，
∴直线AM的解析式为：y=−x+3①
又抛物线的解析式为：y=2x2−8x+6②
联立①②式，y=−x+3y=2x2−8x+6
解得：x=3y=0或x=12y=52(与点A重合，舍去)，
∴C(3,0)，即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1(3,5)；
③若点C为直角顶点，则∠ACP=90∘.
∵y=2x2−8x+6=2(x−2)2−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
如图2，作点A(12,52)关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C(72,52).
当x=72时，y=x+2=112.
∴P2(72,112).
∵点P1(3,5)、P2(72,112)均在线段AB上，
∴综上所述，若△PAC与△PDE相似，点P的坐标为(3,5)或(72,112).
【解析】(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过待定系数法即可求得解析式；
(2)设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据三角形面积公式列方程可解答；
(3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数；解(3)的关键是利用直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．x
…
−2
−1
−12
0
12
32
52
3
4
…
y
…
1
32
2
3
6
6
m
32
1
…