2025届高考数学一轮复习专练70 随机事件的概率与古典概型（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练70 随机事件的概率与古典概型（Word版附解析），共8页。

【基础落实练】
1.(5分)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则( )
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A=B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
【解析】选A.设A={1,3},B={1,5},
则A∩B={1},A∪B={1,3,5},
所以A≠B,A∩B表示向上的点数是1,A∪B表示向上的点数为1或3或5.
2.(5分)抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”,事件B为“向上一面点数为6的约数”,则P(A+B)=( )
A.13B.12C.23D.56
【解析】选D.由题意得,抛掷结果有6种等可能的结果,事件A即为向上一面的点数为2或4或6,事件B即为向上一面的点数为1或2或3或6,事件A+B即为向上一面的点数为1或2或3或4或6,所以P(A+B)=56.
3.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
A.16B.13C.12D.23
【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,
若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=21-721=23.
4.(5分)奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成,五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见.5个奥林匹克环共有8个交点,从中任取3个点,则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为( )
A.314B.514C.37D.17
【解析】选A.从8个点中任取3个点,共有C83=56种情况,这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有3×C43=12种情况,故所求的概率P=1256=314.
5.(5分)(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,D3=“点数大于5”;
E=“点数为奇数”;
F=“点数为偶数”.
下列结论正确的是( )
A.C1与C2对立B.D1与D2不互斥
C.D3⊆FD.E⊇(D1∩D2)
【解析】选BC.对于A,C1=“点数为1”,C2=“点数为2”,C1与C2互斥但不对立,故选项A不正确;
对于B,D1=“点数不大于2”,D2=“点数不小于2”,当出现的点数是2时,D1与D2同时发生,所以D1与D2不互斥,故选项B正确;
对于C,D3=“点数大于5”表示出现6点,F=“点数为偶数”,所以D3发生时F一定发生,所以D3⊆F,故选项C正确;
对于D,D1∩D2表示两个事件同时发生,即出现2点,E=“点数为奇数”,所以D1∩D2发生,事件E不发生,所以E⊇(D1∩D2)不正确,故选项D不正确.
6.(5分)(多选题)某评分软件将用户评价的一到五星转化为分值(一星2分,二星4分,三星6分),用得分总和除以评分的用户人数得到数字.某影片的评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是( )
A.m的值是32%
B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星
C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56
D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件
【解析】选ACD.参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确;
随机抽取100名观众,可能有100×24.0%=24(人)评价五星,但只是估计值,B错误;
评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%,故C正确;
根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件,故D正确.
7.(5分)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.
【解析】根据题意,从正方体的8个顶点中任选4个,有C84=70种取法,
若这4个点在同一个平面,有侧面6个、对棱面6个,一共有6+6=12种情况,
则这4个点在同一个平面的概率P=1270=635.
答案:635
8.(5分)某城市2023年的空气质量状况如表所示:
其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50【解析】从题表中可以看出,空气质量为优的概率为110,空气质量为良的概率为16+13=12.所以空气质量状况达到良或优的概率为110+12=35.
答案:35
9.(10分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如表:
求:(1)至多2人排队等候的概率;
(2)至少3人排队等候的概率.
【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“4人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
【能力提升练】
10.(5分)如果事件A,B互斥,记A,B分别为事件A,B的对立事件,那么( )
A.A∪B是必然事件
B.A∪B是必然事件
C.A与B一定互斥
D.A与B一定不互斥
【解析】选B.如图①所示,A∪B不是必然事件,A∪B是必然事件,A与B不互斥;如图②所示,A∪B是必然事件,A∪B是必然事件,A与B互斥.
11.(5分)(多选题)甲、乙两人做下列4个游戏,其中对甲、乙都公平的有( )
A.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数为奇数,则甲胜,向上的点数为偶数,则乙胜
B.甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,则甲胜,是黑色,则乙胜
D.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,则甲胜,两枚都是正面向上,则乙胜
【解析】选ABC.P(向上的点数为奇数)=P(向上的点数为偶数)=12,选项A公平;
甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是12,选项B公平;
P(牌为红色)=P(牌为黑色)=12,选项C公平;
同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为12,两枚都是正面向上的概率为14,P(甲胜)≠P(乙胜),选项D不公平.
12.(5分)已知从某班学生中任选两人参加农场劳动,选中两人都是男生的概率是13,选中两人都是女生的概率是215,则选中两人中恰有一人是女生的概率为________.
【解析】记“选中两人都是男生”为事件A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件C,易知A,B为互斥事件,
A∪B与C为对立事件,又P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+215=715,所以P(C)=1-P(A∪B)=1-715=815.
答案:815
13.(10分)近年来,我国科技成果斐然,北斗三号全球卫星导航系统已开通多年,北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星,共30颗卫星组成.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.
(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率;
(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.
【解析】(1)记地球静止轨道卫星为1,2,3,记倾斜地球同步轨道卫星为a,b,c,
则所有的选择为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(1,c),(2,3),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),
(a,b),(a,c),(b,c).
记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件A,
则A包含(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),
所以P(A)=915=35;
(2)记至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件B,则B包含(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,b),(a,c),(b,c),所以P(B)=1215=45.
14.(10分)袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球、黄球、绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是59,得到黄球或绿球的概率是23,试求:
(1)从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少;
(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少.
【解析】(1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A,B,C,
由于A,B,C为互斥事件,根据已知得P(A)+P(B)+P(C)=1,P(A)+P(B)=59,P(B)+P(C)=23,解得P(A)=13,P(B)=29,P(C)=49,
所以从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13,29,49.
(2)由(1)知黑球、黄球、绿球的个数分别为3,2,4,得到的两个球同色的可能有:两个黑球共3种情况,两个黄球只有1种情况,两个绿球共有6种情况.而从9个球中取出2个球的情况共有36种,所以任取两个球,得到的两个球颜色相同的概率为3+6+136=518,则得到的两个球颜色不相同的概率是1-518=1318.
【素养创新练】
15.(5分)一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球,这4个球都是红色的概率为P1,恰好有三个红色和一个白色的概率为P2,恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3,四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为( )
A.17B.19
C.21D.以上都不正确
【解析】选C.设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a,b,c,d.
由题意得Ca4=Ca3Cb1=Ca2Cb1Cc1=Ca1Cb1Cc1Cd1,
则有a(a-1)(a-2)(a-3)4×3×2×1=a(a-1)(a-2)3×2×1·b=a(a-1)2×1·bc=abcd,即a=4b+3=3c+2=2d+1.
经验证,玻璃球的个数的最小值为21,此时a=11,b=2,c=3,d=5.污染指数T
30
60
100
概率
110
16
13
污染指数T
110
130
140
概率
730
215
130
排队人数
0
1
2
3
4
4人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04