2023-2024学年江西省景德镇市浮梁县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市浮梁县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式：a−b2，x+3x，5+yπ，x24，a+ba−b，1m(x−y)中，是分式的共有( )个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.下列从左到右的变形，属于因式分解且正确的是( )
A. 3ax2−6ax=3(ax2−2ax)B. (x+a)(x−a)=x2−a2
C. a2+2ab−4b2=(a+2b)2D. −ax2+2ax−a=−a(x−1)2
3.不等式1≤8−x3−1<2的解( )
A. B.
C. D.
4.若一个正多边形的一个外角是45∘，则这个正多边形的边数是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
5.若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为( )
A. 2B. −2C. 2或−2D. 0
6.已知△ABC的三边a，b，c满足a(a+c)−bc−ab=0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：4x3−x=______.
8.关于x的方程2x+1x−3=m3−x+1有增根，则m的值是______.
9.关于x，y的方程组x+y=4x−y=2a的解满足x<2y，则a的取值范围为______.
10.如果a2−a−1=0，那么代数式(a−2a−1a)⋅a2a−1的值是______.
11.如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，此时AB=10，DO=4，阴影部分面积为40，则平移的距离为______.
12.如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC于点D，BC=4，AD=3，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解不等式：1−x3−x<3−x+24；
(2)解分式方程：x−22x−1+1=32(1−2x).
14.(本小题6分)
先化简：x2−4x2−2x+1÷(x2−2x−1−x)，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值.
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠CAB=70∘，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40∘到△AB′C′的位置，连接CC′，求证：CC′//AB.
16.(本小题6分)
如图，▱ABCD的周长为16cm，它的对角线AC和BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长．
17.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，BD为对角线，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图(保留画图痕迹，不写画法)，
(1)在图1中，P为AB上任意一点，在CD上找一点Q，使AP=CQ；
(2)在图2中，E为BD上任意一点，在BD上找一点F，使BE=DF.
18.(本小题8分)
观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2−xy+4x−4y
=(x2−xy)+(4x−4y)(分成两组)
=x(x−y)+4(x−y)(直接提公因式)
=(x−y)(x+4).
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−(b2+c2−2bc)(分成两组)
=a2−(b−c)2(直接运用公式)
=(a+b−c)(a−b+c)(再用平方差公式)
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m3−2m2−4m+8.
(2)x2−2xy+y2−9.
19.(本小题8分)
某食品加工厂需要一批包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系.
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题：
(1)请分别求出y1、y2与x的函数关系式.
(2)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由.
20.(本小题8分)
随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时.
(1)求人工每人每小时分拣多少件？
(2)若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要安排台这样的分拣机.
21.(本小题9分)
如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE=CF.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形.
22.(本小题9分)
定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n阶分式”.
例如，分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
(1)分式12x3+2x与______互为“6阶分式”.
(2)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2与5yx2+y互为“5阶分式”.
(3)若正数a，b满足ab=2−1，求证：分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”.
23.(本小题12分)
(1)课本再现
已知：如图，DE是△ABC的中位线.求证：DE//BC，且DE=12BC.
定理证明
证明：如图1，延长DE至点F，使得EF=DE，连接CF.请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；(不再添加新的辅助线)
(2)知识应用
如图2，在四边形ABCD中，AB=6，CD=8，∠BAC=30∘，∠ACD=120∘，点E，F，M分别是AD，BC，AC的中点，求EF的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：a−b2，x24，5+yπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
x+3x，a+ba−b，1m(x−y)分母中含有字母，因此是分式．
故选：B.
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以5+yπ不是分式，是整式．
2.【答案】D
【解析】解：A、3ax2−6ax=3ax(x−2)，故此选项错误，不符合题意；
B、(x+a)(x−a)=x2−a2，不属于因式分解，故此选项错误，不符合题意；
C、a2+2ab−4b2)=(a+b)2−5b2=(a+b+ 5b)(a+b− 5b)，故选项错误，不符合题意；
D、−ax2+2ax−a=−a(x−1)2，正确，符合题意；
故选：D.
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：不等式1≤8−x3−1<2的解集为−1在数轴上表示这个不等式组的解集为：
故选：A.
先求出一元一次不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：360÷45=8(条)，
故选：B.
根据多边形的外角和等于360∘计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360∘，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵分式x2−4x−2的值为零，
∴x2−4=0，
∴x=±2，
∵x−2≠0，
∴x≠2，
∴x=−2，
故选：B.
由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2−4=0，x−2≠0，解出x即可．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式值为零的条件，注意分母不为零的隐含条件是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵a(a+c)−bc−ab=0，
∴a(a+c)−b(a+c)=0，
(a−b)(a+c)=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a−b=0，
∴a=b，即△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A.
利用因式分解法把原式变形得到(a−b)(a+c)=0，从而判断三角形的形状．
本题考查的是因式分解的应用、等腰三角形的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7.【答案】x(2x+1)(2x−1)
【解析】解：4x3−x，
=x(4x2−1)，
=x(2x+1)(2x−1).
先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后需要进行二次分解因式．
8.【答案】−7
【解析】解：去分母得：2x+1=−m+x−3，
解得x=−m−4，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
∴−m−4=3，
解得：m=−7.
故答案为：−7.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.【答案】a<23
【解析】解：{x+y=4①x−y=2a②，
①+②得：2x=4+2a，即x=2+a，
①-②得：2y=4−2a，即y=2−a，
代入不等式得：2+a<2(2−a)，
解得：a<23，
故答案为：a<23.
把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】1
【解析】解：∵a2−a−1=0，即a2−a=1，
∴原式=a2−2a+1a⋅a2a−1=(a−1)2a⋅a2a−1=a(a−1)=a2−a=1，
故答案为：1
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，AB=DE，
∴S△ABC=S△DEF，
∴S△ABC−S△OEF=S△DEF−S△OEF，即S梯形ABEO=S阴影部分=40，
∵AB=10，DO=4，
∴OE=6，
∴12×(10+6)⋅BE=40，
解得：BE=5，即平移的距离为5，
故答案为：5.
根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，AB=DE，根据梯形的面积公式计算求出BE，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12.【答案】2 10或 61或 13
【解析】解：∵等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=2，AD=3，
根据勾股定理，得AB= 13，
分三种情况画图如下：
①当AB为对角线剪拼时，如图1所示：
此时较长对角线的长为AB= 13；
②当AD为对角线时剪拼，如图2所示：
过点C作BA延长线的垂线，垂足为点E，得矩形ADCE，
∴CE=AD=3，AE=DC=BA=2，
∴BE=4，
∴BC=5.
所以该平行四边形中较长对角线的长为BC=5；
③当BD为对角线时剪拼，如图3所示：
过点A′作AD延长线的垂线，垂足为点E，得矩形A′EDB，
∴DE=A′B=AD=3，A′E=BD=2，
∴AE=AD+DE=6，
∴AA′= A′E2+AE2=2 10.
所以该平行四边形中较长对角线的长为AA′=2 10.
综上所述：该平行四边形中较长对角线的长为2 10或5或 13.
故答案为：2 10或5或 13.
分三种情况剪拼图形，画出图形，构造出直角三角形即可求出平行四边形中较长对角线的长．
本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是剪拼图形时共有3种情况．
13.【答案】解：(1)去分母得：4−4x−12x<36−3x−6，
移项、合并同类项得：−13x<26，
x系数化为1得：x>−2；
(2)去分母得：2x−4+4x−2=−3，
解得：x=12，
检验：把x=12代入得：2(2x−1)=0，
∴x=12是增根，分式方程无解．
【解析】(1)不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
14.【答案】解：原式=(x+2)(x−2)(x−1)2÷x2−2−x(x−1)x−1
=(x+2)(x−2)(x−1)2÷x−2x−1
=(x+2)(x−2)(x−1)2⋅x−1x−2
=x+2x−1，
由分式有意义的条件可知：x不能取1，2，
故x=3，
原式=3+23−1=52.
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转40∘到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠CAC′=∠BAB′=40∘，
∴∠ACC′=∠AC′C，
∵∠AC′C+∠ACC′+∠CAC′=180∘，
∴∠ACC′=70∘，
∵∠CAB=70∘，
∴∠ACC′=∠CAB=70∘，
∴CC′//AB.
【解析】先根据旋转推出旋转对应线段AC=AC′以及对应角∠CAC′=∠BAB′=40∘，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠ACC′=70∘，最后根据内错角相等，两直线平行，求证CC′//AB.
本题考查了旋转的性质、平行线的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OA=OC，
又∵OE⊥AC于O，
∴AE=CE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AD+DC=8cm，
∴△DCE的周长=DE+CE+DC=AD+DC=8cm.
【解析】根据平行四边形的性质得到平行四边形的对角线互相平分，得到OA=OC，由于OE⊥AC于O，得到AE=CE，求得AD+DC=8cm，即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【答案】解：(1)如图1，点Q为所作；
(2)如图2，点F为所作．

【解析】(1)连接AC交BD于O点，连接PO并延长交CD于Q点，利用平行四边形的中心对称的性质可得到AP=CQ；
(2)连接AC交BD于O点，再延长AE交BC于M点，接着延长MO交AD于G点，然后连接CG交AD于G，则点G满足条件．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的判定与性质和菱形的判定．
18.【答案】解：(1)原式=m2(m−2)−4(m−2)=(m−2)2(m+2)；
(2)原式=(x−y)2−9=(x−y+3)(x−y−3).
【解析】(1)原式两项两项结合后，提取公因式即可；
(2)原式前三项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
19.【答案】解：(1)设图象一的函数解析式为：y1=k1x，
由图象知函数经过点(100,500)，
∴500=100k1，
解得k1=5，
∴函数的解析式为y1=5x；
设图象二的函数关系式为y2=k2x+b
由图象知道函数的图象经过点(0,20000)和(4000,30000)
∴b=200004000k2+b=30000，
解得：k=2.5b=20000，
∴函数的解析式为y2=2.5x+20000；
(2)令5x=2.5x+20000，
解得x=8000，
∴当x=8000时，两种方案同样省钱；
当x<8000时，选择方案一；
当x>8000时，选择方案二．
【解析】(1)根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可；
(2)求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
20.【答案】解：(1)设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，
根据题意得，600020x−60005×20x=4，
30000−6000=400x，
x=60，
检验：当x=60时，100x≠0，
∴x=60是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
(2)设需要安排y台分拣机，
则16×20×60y≥100000，
19200y≥100000，
y≥12524，
∵y为正整数，
∴y的最小值为6，
答：至少需要安排6台这样的分拣机．
【解析】(1)设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，根据题意得，600020x−60005×20x=4，进行计算并检验，即可得；
(2)设需要安排y台分拣机，则16×20×60y≥100000，进行计算得y≥12524，根据y为正整数得y的最小值为6，即可得．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
21.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，如图1所示：
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE=OF，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：
∵AE=CF，
∴△ADE的面积=△DFC的面积，△ABE的面积=△CBF的面积，
由(1)得：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=CB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴△ADE的面积=△CBF的面积，
∴△ADE的面积=△DFC的面积=△ABE的面积=△CBF的面积．
【解析】(1)由平行四边形的性质得OE=OF，OB=OD，证出OA=OC，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】183+2x
【解析】解：(1)根据题意得：6−12x3+2x=18+12x−12x3+2x=183+2x，
则分式12x3+2x与183+2x互为“6阶分式”；
故答案为：183+2x；
(2)∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1，即y=1x，
∴5xx+y2+5yx2+y=5xx+1x2+5xx2+1x=5x3x3+1+5x3+1=5(x3+1)x3+1=5，
则分式5xx+y2与5yx2+y互为“5阶分式”；
(3)∵正数a，b满足ab=2−1，b=12a，
∴aa+4b2+2ba2+2b=aa+4×14a2+1aa2+1a=a3a3+1+1a3+1=a3+1a3+1=1，
则分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”．
(1)根据题中的新定义列出关系式，计算即可；
(2)两分式相加，计算得到结果，利用新定义判断即可；
(3)两分式相加，计算得到结果，利用新定义判断即可．
此题考查了解分式方程，以及负整数指数幂，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：在△AED和△CEF中，
DE=FE∠AED=∠CEFAE=CE，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AB//CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∴DE//BC，DE=12BC；
(2)解：∵点E，M分别是AD，AC的中点，
∴EM是△ADC的中位线，
∴EM=12CD=4，EM//CD，
∴∠EMC+∠ACD=180∘，
∵∠ACD=120∘，
∴∠EMC=60∘，
同理可得：MF=12AB=3，MF//AB，
∴∠CMF=∠BAC，
∵∠BAC=30∘，
∴∠CMF=30∘，
∴∠EMF=90∘，
∴EF= EM2+MF2= 42+32=5.
【解析】(1)证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到AD=CF，∠A=∠ECF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
(2)根据三角形中位线定理分别求出EM、FM，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．