2023-2024学年江西省鹰潭市月湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年江西省鹰潭市月湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在代数式1m,13,x−1π,2x+y中，分式的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知aA. a+44.如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，当AD=2EC，BF=15时，则平移的距离为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为( )
A. 60
B. 30
C. 20
D. 15
6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=12cm，△OAB的周长是10cm，则EF的长为( )
A. 5cm
B. 4cm
C. 2cm
D. 1cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：m2−m=______.
8.如图，在数轴上点M、N分别表示数2，−2x+1，则x的取值范围是______.
9.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC=90∘，AC=6，BD=8，则CD的长为______.
10.分式方程3x+5=12x的解为______.
11.如图，在△ABC中，∠B=40∘，∠C=50∘.通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE=______度.
12.在▱ABCD中，∠B=45∘，AB=4，BC=4 2，E为AB的中点，点P在▱ABCD上，当△EPC为直角三角形时，CP的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)化简：x2x−2+2x2−x.
(2)如图，△ABC中，∠C=90∘，∠A=15∘，MN垂直平分AB，BN=10，求BC的值.
14.(本小题6分)
分解因式：
(1)a2(a−b)−b2(a−b)；
(2)x2y−2xy2+y3.
15.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，M是BC中点，AM与BD相交于点O且互相平分，则线段AM与CD有怎样的关系？请说明理由.
16.(本小题6分)
解不等式组x−3(x−2)≥42+x2<2x−23+2，并把解集表示在数轴上.
17.(本小题6分)
如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2中各画一个四边形(所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上)
(1)在图1中画四边形ABCD，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3.
18.(本小题8分)
化简：(1x−1−x+1)÷11−x.
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90∘，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
(1)求证：AF=AD；
(2)若BF=7，DE=3，求CE的长.
20.(本小题8分)
小明参加全程21km的“半程马拉松”比赛，前10km以平均速度v千米/时完成，之后身体竞技状态提升，以1.2v千米/时的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前11分钟到达目的地.求小明前10km的平均速度.
21.(本小题9分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=100∘，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针旋转60∘得△ADC，连接OD.
(1)当α=150∘，∠ODA=______；
(2)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？说明理由.
22.(本小题9分)
小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔.已知每本笔记本2元，每支钢笔5元.
(1)若小聪已经购买了15支钢笔，问最多还能买几本笔记本？
(2)若小聪想购买笔记本和钢笔共30件，问最多能买几支钢笔？
23.(本小题12分)
如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH，AF.
(1)若∠BAE=65∘，∠DCE=25∘，求∠DEC的度数；
(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(3)连接EH，交BC于点O，若OB=OE，FG=8，直接写出OH的长度.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：分式有式1m，2x+y，共2个，
故选：B.
一般地，如果A、B(B≠0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，由此判断即可．
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵aB、∵aC、∵a−4b，故本选项符合题意；
D、∵a故选：C.
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，
∴AD=BE=CF，
设平移的距离为2x，则AD=BE=CF=2x，
∵AD=2EC，
∴EC=x，
∵BF=15，
∴BE+CF+EC=15，即2x+2x+x=15，
解得x=3，
∴2x=6，即AD=BE=CF=6.
故选：D.
设平移的距离为2x，则AD=BE=CF=2x，再由AD=2EC可知EC=x，由BF=15可得出x的值，进而得出结论．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得，2(a+b)=10，ab=6，
∴a+b=5，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=6×5
=30，
故选：B.
根据长方形的周长、面积公式得出2(a+b)=10，ab=6，再将要求的代数式先提取公因式，然后代入计算即可得出答案．
本题考查了因式分解-提取公因式法，代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，
∵AC+BD=12cm，
∴AO+BO=12×12=6(cm)，
∵△OAB的周长是10cm，
∴AO+BO+AB=10cm，
∴AB=10−6=4(cm)，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF=12AB=2cm，
故选：C.
由平行四边形的性质可知OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，得OB+OA=6cm，再求出AB的长，然后由三角形中位线定理即可得出EF的长．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质以及三角形周长等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出AB的长是解题的关键．
7.【答案】m(m−1)
【解析】解：m2−m=m(m−1)
故答案为：m(m−1).
结合多项式的特点，直接应用提取公因式法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，正确运用因式分解的方法是本题解题关键．
8.【答案】x<−12
【解析】解：由题意可知−2x+1>2，
解得x<−12，
故答案为：x<−12.
根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可．
本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．
9.【答案】 7
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，
∵∠BAC=90∘，AC=6，BD=8，
∴BO=4，OA=3，
∴AB= BO2−OA2= 42−32= 7，
∴CD= 7，
故答案为： 7.
利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长，进而可求出CD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长．
10.【答案】x=1
【解析】解：原方程去分母得：6x=x+5，
解得：x=1，
检验：将x=1代入2x(x+5)得2×1×6=12≠0，
故原方程的解为x=1，
故答案为：x=1.
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
11.【答案】25
【解析】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴DB=DA，∠DAE=12∠DAC，
∴∠DAB=∠B=40∘，
∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，
∴∠BAC=180∘−40∘−50∘=90∘，
∵∠DAC=∠BAC−∠DAB=90∘−40∘=50∘，
∴∠DAE=12×50∘=25∘.
故答案为：25.
利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，则DB=DA，∠DAE=12∠DAC，所以∠DAB=∠B=40∘，再利用三角形内角和计算出∠BAC=90∘，则∠DAC=50∘，从而得到∠DAE=25∘.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
12.【答案】3 2或10 23或4 53或 10或4
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且∠B=45∘，AB=4，BC=4 2，
∴∠D=∠B=45∘，AB//CD，AB=CD=4，AD=BC=4 2，
∵E为AB的中点，
∴AE=BD=12AB=2，
又∵点P在▱ABCD上，且△EPC为直角三角形，
∴又以下两种情况：
(1)当点E在BC上时，有以下两种情况：
①当∠EPC=90∘时，如图1所示：

则∠EPB=90∘，
∴△EPB为等腰直角三角形，且BE=2，
由勾股定理得：BP=EP= 22BE= 22×2= 2，
∴CP=BC−BP=4 2− 3=3 2，
由勾股定理得：CE= CP2+EP2=2 5，
②当∠PCE=90∘时，过点P作PF⊥AB于F，如图2所示：
则△FBP为等腰直角三角形，
设FB=FP=a，则EF=BE−FB=2−a，
由勾股定理得：BP= 2a，
∴PC=BC−BP=4 2− 2a，
在Rt△EFP中，由勾股定理得：PE2=EF2+FP2=(2−a)2+a2，
在Rt△EPC中，由勾股定理得：EP2=PC2−CE2=(4 2− 2a)2−(2 5)2，
∴=(2−a)2+a2=(4 2− 2a)2−(2 5)2，
解得：a=23，
∴CP=4 2− 2a=4 2− 2×23=10 23；
(2)当点P在AD边上时，有以下两种情况：
①当∠ECP=90∘时，过点P作PN⊥CD于N，NP的延长线交BA的延长线于M，如图3所示：

∵AB//CD，∠D=45∘，
∴∠MAP=∠D=45∘，
∴△PDN和△PAM均为等腰直角三角形，
∴设NP=ND=a，则CN=CD−ND=4−a，
由勾股定理得：PD= 2a，
则AP=AD−PD=4 2− 2a，
由勾股定理得：AM=PM= 22(4 2− 2a)=4−2a，
∴EM=AE+AM=6−a，
在Rt△PCN中，由勾股定理得：CP2=NP2+CN2=a2+(4−a)2，
在Rt△MEP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=(6−a)2+(4−a)2，
在Rt△EPC中，由勾股定理得：PE2=CP2+CE2，
即(6−a)2+(4−a)2=a2+(4−a)2+((2 5)2,
解得：a=43，
∴CP= a2+(4−a)2= (43)2+(4−43)2=4 53；
②当∠EPC=90∘时，过点P作PR⊥CD于R，RP的延长线交BA的延长线于Q，如图4所示：

同(2)①得：△PDR和△PAQ均为等腰直角三角形，
设RP=RD=a，则CR=CD−RD=4−a，
同(2)①得：PD= 2a，AP=4 2− 2a，AQ=PQ=4−a，EQ=6−a，
在Rt△PCR中，由勾股定理得：CP2=RP2+CR2=a2+(4−a)2，
在Rt△QEP中，由勾股定理得：PE2=EQ2+PQ2=(6−a)2+(4−a)2，
在Rt△EPC中，由勾股定理得：CE2=CP2+PE2，
即(2 5)2=a2+(4−a)2+(6−a)2+(4−a)2，
整理得：a2−7a+10=0，
解得：a1=3，a2=4，
当a=3时：CP= a2+(4−a)2= 10，
当a=4时，CP= √a2+(4−a)2=4，此时点P于点重合．
综上所述：CP的长为3 2或10 23或4 53或 10或4.
根据点P在▱ABCD上，且△EPC为直角三角形，可分为以下两种情况：(1)当点E在BC上时，有以下两种情况：①当∠EPC=90∘时，则∠EPB=90∘，△EPB为等腰直角三角形，则BP=EP= 2，然后再由勾股定理可得CP的长及CE=2 5；②当∠PCE=90∘时，过点P作PF⊥AB于F，则△FBP为等腰直角三角形，设FB=FP=a，则EF=BE−FB=2−a，BP= 2a，PC=4 2− 2a，然后由勾股定理列出关于a的方程，再解该方程求出a即可得CP的长；(2)当点P在AD边上时，有以下两种情况：①当∠ECP=90∘时，过点P作PN⊥CD于N，NP的延长线交BA的延长线于M，则△PDN和△PAM均为等腰直角三角形，设NP=ND=a，则CN=CD−ND=4−a，PD= 2a，AP=4 2− 2a，进而得AM=PM=4−2a，EM=6−a，然后由勾股定理列出关于a的方程，再解该方程求出a即可得CP的长；②当∠EPC=90∘时，过点P作PR⊥CD于R，RP的延长线交BA的延长线于Q，则△PDR和△PAQ均为等腰直角三角形，设RP=RD=a，则CR=CD−RD=4−a，同(2)①得PD= 2a，AP=4 2− 2a，AQ=PQ=4−a，EQ=6−a，然后由勾股定理列出关于a的方程，再解该方程求出a即可得CP的长，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，理解平行四边形的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
13.【答案】解：(1)x2x−2+2x2−x
=x2x−2−2xx−2
=x2−2xx−2
=x(x−2)x−2
=x；
(2)∵MN垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴∠A=∠NBA=15∘，
∴∠BNC=∠A+∠NBA=30∘，
∵∠C=90∘，BN=10，
∴BC=5.
【解析】(1)先变形，然后计算减法，再分解因式，然后约分即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质可以得到NA=NB，从而可以得到∠A=∠NBA，进而求得∠BNC的度数，然后根据BN=10，∠C=90∘，即可求得BC的长．
本题考查分式的化简求值、含30∘的直角三角形，熟练掌握运算法则和知道直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
14.【答案】解：(1)a2(a−b)−b2(a−b)
=(a−b)(a2−b2)
=(a−b)(a+b)(a−b)
=(a−b)2(a+b)；
(2)x2y−2xy2+y3
=y(x2−2xy+y2)
=y(x−y)2.
【解析】(1)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
15.【答案】解：关系：AM//BD，AM=BD.
理由：∵AM、BD互相平分于点O，即AO=OM，BO=DO，
∴四边形ABMD为平行四边形，
∴AD=BM，AD//BM，
又∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
∴AD=MC，AD//MC，
∴四边形AMCD为平行四边形，
∴AM//BD，AM=BD.
【解析】由AM与BD互相平分，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABMD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等得到AD与BM平行且相等，由M为BC的中点，得到BM=CM，利用等量代换可得出AD=MC，又AD与MC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AMCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，即可得证．
此题考查了平行四边形的判定与性质，以及线段中点定义，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
16.【答案】解：{x−3(x−2)⩾4①2+x2<2x−23+2②，
由①得，x≤1；
由②得，x>−2；
∴原不等式组的解集为：−2把解集表示在数轴表示为：
.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1，四边形ABCD为所作；
(2)如图2，四边形ABEF为所作．

【解析】(1)以AB为边画一个平时四边形即可；
(2)先作对角线BF=3，然后以AB为边，BF为对角线画平行四边形即可．
考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的判定．
18.【答案】解：(1x−1−x+1)÷11−x
=[1x−1−(x−1)]⋅(1−x)
=1x−1⋅(1−x)−(x−1)(1−x)
=−1+(1−x)2
=−1+1+x2−2x
=x2−2x.
【解析】先把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠D=90∘，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴∠AED=∠AEF，
又∵AF⊥EF，
∴AF=AD；
(2)解：在Rt△ABF和△RtACD中，
AB=ACAF=AD，
∴Rt△ABF≌△RtACD(HL)，
∴BF=CD=7，
∵DE=3，
∴CE=CD−DE=7−3=4.
【解析】(1)证出∠AED=∠AEF，由角平分线的性质可得出结论；
(2)证明Rt△ABF≌△RtACD(HL)，由全等三角形的性质可得出BF=CD=7，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：由题意得：小明原计划所用的时间为：21v(h)，
依题意得：10v+21−101.2v=21v−1160，
解得：v=10，
经检验：v=10是原方程的根．
∴小明前10km的平均速度是10km/h.
答：小明前10km的平均速度是10km/h.
【解析】根据时间=路程÷速度，结合题意列出相应的式子进行求解即可．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题目中的等量关系．
21.【答案】90∘
【解析】解：(1)∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，△ODC为等边三角形，
∴∠BOC=∠ADC=150∘，∠ODC=60∘
∴∠ADO=150∘−60∘=90∘；
故答案为：∠ODA=90∘；
(2)∵∠AOB=100∘，∠BOC=α，
∴∠AOC=260∘−α.
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60∘，
∴∠ADO=α−60∘，∠AOD=200∘−α，
①当∠DAO=∠DOA时，
2(200∘−α)+α−60∘=180∘，
解得：α=160∘
②当∠AOD=ADO时，
200∘−α=α−60∘，
解得：α=130∘，
③当∠OAD=∠ODA时，
200∘−α+2(α−60∘)=180∘，
解得：α=100∘，
∴α=100∘，α=130∘，α=160∘△AOD为等腰三角形．
(1)由旋转可以得出 OC=DC，∠DCO=60∘，就可以得出△ODC是等边三角形，就可以得出∠ODC=60∘，从而得出∠ADO；
(2)由条件可以表示出∠AOC=260∘−a，就有∠AOD=200∘−a，∠ADO=a−60∘，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．
此提是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键．
22.【答案】解：(1)设小聪还能买x本笔记本，
由题意得：2x+15×5≤100，
解得：x≤12.5，
∴小聪最多还能买12本笔记本，
答：小聪最多还能买12本笔记本；
(2)设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本(30−m)本，
由题意得：2(30−m)+5m≤100，
解得：m≤1313，
答：最多能买13支钢笔．
【解析】(1)设小聪还能买x本笔记本，根据小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔．列出一元一次不等式，解不等式即可；
(2)设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本(30−m)本，根据小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔．列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠BCD=65∘，AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵∠BCE=∠BCD−∠DCE=65∘−25∘=40∘，
∴∠DEC=∠BCE=40∘；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠BAE=∠BCD，
∵BF=BE，CG=CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC//FG，BC=12FG，
∵H为FG的中点，
∴FH=12FG，
∴BC//FH，BC=FH，
∴AD//FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
(3)OH=2.
【解析】(1)(2)见答案；
(3)解：如图，连接BH、EH、CH，
∵CE=CG，FH=HG，
∴CH=12EF，CH//EF，
∵EB=BF=12EF，
∴BE=CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB=OC，OE=OH，
∵OB=OE，
∴OE=OH=OB=OC=12BC，
又∵BC=12FG=BC=12×8=4，
∴OH=2.
(1)由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
(2)由平行四边形的性质得AD=BC，AD//BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC//FG，BC=12FG，证出AD//FH，AD//FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(3)连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．