2023-2024学年安徽省六安市金寨县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金寨县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 12C. 0.5D. 5
2.在下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5B. 1， 3，2C. 1，2，3D. 1，1，2
3.使1 x−2有意义的x的取值范围是( )
A. x>2B. x<−2C. x≥2D. x≤2
4.正多边形的每一个外角都是30∘，则这个正多边形的内角和是( )
A. 1080∘B. 720∘C. 360∘D. 1800∘
5.《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节.某校九年级8个班级春季植树的数量(单位：棵)分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为( )
A. 90棵，120棵B. 100棵，100棵C. 120棵，100棵D. 100棵，120棵
6.用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方结果正确的是( )
A. (x−2)2=3B. (x−2)2=5C. (x−2)2=8D. (x−4)2=5
7.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米.停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为x(单位：米)，下列方程正确的是( )
A. 19x+30x=30×19−390B. 2x2+30x=30×19−390
C. (30−x)(19−2x)=390D. (30−x)(19−x)=390
8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且cA. d=10
B. BD2=12
C. 四边形ABCD的面积是24
D. AD9.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为( )
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
10.如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中正确的有( )
①CE=CF
②DE=EF
③AC⊥CG
④CE+CG= 2AD
A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为S甲2=1.2，S乙2=1.9，则身高较整齐的球队为______队(填“甲”或“乙”).
12.关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有一根x1=1，则另一根x2=______.
13.如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC=BD=56cm，且与闸机侧立面夹角.∠PCA=∠BDQ=30∘，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为______cm.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，BC=10，P为BC边上任意一点(点P与点C不重合)，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ.
(1)当平行四边形PAQC为矩形时，PA的长为______；
(2)PQ长的最小值是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 12− 2×( 8+3 12).
16.(本小题8分)
解方程：2x+6=(x+3)2.
17.(本小题8分)
如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
(1)画格点△ABC(△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处)，使AB= 5，BC= 10，AC= 13；
(2)△ABC的面积为______.
18.(本小题8分)
已知：关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k−1=0.
(1)若x=1是方程的一个根，求k的值；
(2)求证：方程有两个不相等的实数根.
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB的中点，AE//DC，CE//DA.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若∠E=120∘，BC=2，求线段AC的长.
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，∠B=30∘，过点A作AE⊥BC于点E，点E恰好是BC的中点，连接DE，AE= 3，DC=1，AD= 13.
(1)直接写出AB的长为______；
(2)求∠DCE的度数.
21.(本小题12分)
某调查小组在某小区随机调查居民每月用于“娱乐支出”的金额x(单位：元)，将数据分组如下：A.10≤x<100；B.100≤x<200；C.200≤x<300；D.300≤x<400；E.x≥400，并将数据整理成如图所示的不完整统计图.已知A、B两组人数在频数分布直方图中的高度比为1：5.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)A组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？
(2)随机调查的人数中每月用于“娱乐支出”的金额不少于300元的有多少人？
(3)求扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小.
22.(本小题12分)
某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
23.(本小题14分)
如图，已知正方形ABCD，AB=4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P.
(1)求证：△ADE≌△CDE.
(2)判断△CPF的形状，并说明理由.
(3)作DM的中点N，连结PN，若PN=3，求CF的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 13= 33，故本选项不符合题意；
B、 12=2 3，故本选项不符合题意；
C、 0.5= 22，故本选项不符合题意；
D、 5是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D.
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可．
本题考查最简二次根式．熟练掌握相关概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、12+22≠52，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、12+( 3)2=22，能构成直角三角形，符合题意；
C、12+22≠32，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12≠22，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B.
根据勾股定理的逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形”判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由 x−2有意义可得：x−2≥0，
解得：x≥2，
要使1 x−2有意义，必须使 x−2≠0，
∴x−2≠0，
解得：x≠2，
∴x的取值范围是x>2，故A正确．
故选：A.
根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，再解不等式，即可得到答案．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握使分式和二次根式有意义的条件．
4.【答案】D
【解析】解：正多边形每个内角的度数为360∘÷30∘=12，
180∘×(12−2)
=180∘×10
=1800∘.
故答案为：D.
先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可得出答案．
本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角求出正多边形的边数是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：将这8个数按从小到大的顺序排列为60，70，90，100，100，120，120，120，位于最中间的两个数分别为100，100，
∴这8个班级植树棵数的中位数为100+1002=100(棵)，
∵120出现的次数最多，
∴众数为120棵，
故选：D.
把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可．
本题主要考查了求中位数和众数，熟练掌握定义是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=5，
(x−2)2=5.
故选：B.
根据配方法解一元二次方程的步骤得到(x−2)2=5，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，得(30−x)(19−x)=390，
故选：D.
根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示车位的面积是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD，
根据题意可知：a=AB2，b=BC2，c=DC2，d=AD2，
∵c∴AD在Rt△ABD与Rt△BCD中，
∵BD2=AB2+AD2，BD2=DC2+BC2，
∴a+d=b+c，
∵a=2，b+c=12，
∴d=10，故选项A正确；
∴BD2=a+d=12，故选项B正确；
∵( b− c)2≥0，
∴b−2 bc+c=12−2 bc≥0，即 bc≤6，
∵a=2，d=10，
同理 ad≤6，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DCB=12 ad+12 bc⩽6，
6<24，
故选项C不正确，符合题意，
故选：C.
根据题意可知：a=AB2，b=BC2，c=DC2，d=AD2，结合题意可以比较出AD本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，掌握勾股定理是关键．
9.【答案】B
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N.
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∵MP=AE=2
∴S△DFP=S△PBE=12×2×6=6，
∴S阴=6+6=12，
故选：B.
由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD.
10.【答案】D
【解析】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N 点，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，
∴NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90∘，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM,
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形，
∴DE=EF，DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘，故②正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠EDC+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠DAE=∠DCG=45∘，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45∘+45∘=90∘，即∠ACG=90∘，
∴AC⊥CG，故③正确；
∵△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=CE+CG= 2AD，故④正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故①错误，
综上可知：②③④正确，
故选：D.
过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，然后根据正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可．
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线及熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
11.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.9，
∴S甲2∴身高较整齐的球队为甲队，
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】2
【解析】解：由题意，得：x1x2=2，
∵x1=1，
∴x2=2；
故答案为：2.
根据两根之积等于ca，求解即可．
本题考查根与系数的关系，掌握两根之积等于ca是关键．
13.【答案】68
【解析】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC=BD=56cm，∠PCA=∠BDQ=30∘，
∴AE=12AC=28cm，
由对称性可知：BF=AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=28×2+12=68cm，
故答案为：68.
过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
14.【答案】245 245
【解析】解：(1)∵∠BAC=90∘，AB=6，BC=10，
∴AC= BC2−AB2= 100−36=8，
∵平行四边形PAQC为矩形，
∴AP⊥BC，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12×BC⋅AP，
∴AP=6×810=245，
故答案为：245；
(2)∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ//BC，
如图，当PQ⊥BC时，PQ最小，
∵12AB⋅AC=12×BC⋅QP，
∴QP=6×810=245，
故答案为：245；
(1)由勾股定理可求AC的长，由面积法可求AP的长；
(2)当PQ⊥BC时，PQ最小，由面积法可求PQ的长．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2 3− 2×8−3 2×12
=2 3−4−3
=2 3−7.
【解析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
16.【答案】解：移项，得2(x+3)−(x+3)2=0，
∴(x+3)(2−x−3)=0，
∴x+3=0或x+1=0，
所以x1=−3，x2=−1.
【解析】先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
此题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．
17.【答案】72
【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求作的三角形；
(2)△ABC面积=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=72.
故答案为：72.
(1)利用勾股定理数形结合的思想画出图形即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图-应用与设计作图，二次根式，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】(1)解：把x=1代入x2+(2k+1)x+k−1=0得1+2k+1+k−1=0，
解得k=−13；
(2)证明：∵Δ=(2k+1)2−4(k−1)
=4k2+4k+1−4k+4
=4k2+5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【解析】(1)把x=1代入一元二次方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可；
(2)先计算根的判别式的值得到Δ=4k2+5，则可判断Δ>0，然后根据根的判别式的意义得到结论．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
19.【答案】(1)证明：∵AE//DC，CE//DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠ACB=90∘，D为AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴平行四边形ADCE是菱形．
(2)解：由(1)可知，四边形ADCE是菱形，
∴∠ADC=∠E=120∘，
∴∠BDC=180∘−120∘=60∘，
由(1)可知，CD=AD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=2，
∴AB=2BD=4，
∴AC= AB2−BC2= 42−22=2 3，
即线段AC的长为2 3.
【解析】(1)先证明四边形ADCE是平行四边形．再由直角三角形斜边上的中线性质得CD=12AB=AD，然后由菱形的判定即可得出结论；
∴2)证明△BCD是等边三角形，得BD=BC=2，则AB=2BD=4，再由勾股定理求出AC的长即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】2 3
【解析】解：(1)∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90∘，
又∵∠B=30∘，
∴AB=2AE=2 3，
故答案为：2 3；
(2)连接AC，
∵AE⊥BC，E为BC的中点，
∴AB=AC=2 3，
∴∠B=∠ACB=30∘，
∵AD= 13，DC=1，
∴AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90∘，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACB=120∘.
(1)根据含30∘角的直角三角形的性质即可得出结果；
(2)连接AC，可得AB=AC，从而得出∠ACB=∠B，再根据勾股定理的逆定理得出三角形ACD是直角三角形，得出∠ACD=90∘，即可得出结果．
本题主要考查了含30∘角的直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵A、B两组人数直方图的高度比为1：5，
∴两组的频数的比是1：5，∵B组的频数为10，
∴A组的频数是2，
∴本次调查的样本容量为：2+101−(40%+28%+8%)=50，
答：A组的频数是2，本次调查的样本容量是50.
(2)50×(28%+8%)=18(人)，
答：每月用于“娱乐支出”的金额不少于300元的有18人．
(3)1050×360∘=72∘，
答：扇形统计图中B组所占扇形的圆心角为72∘.
【解析】(1)根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；用A、B组频数和除以其所占百分比即可；
(2)将D、E组人数相加得出不少于300元的户数；
(3)用360∘乘以B组所占的百分比，即可得出B组对应扇形的圆心角的度数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为(1−a)2，
∴50(1−a)2=32，
a=0.2或a=1.8(舍去)，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)解：设每千克涨价x元，
依题意得：(10+x)(250−10x)=3000，
x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
∵要尽快减少库存，
则x=5，
答：每千克应涨价5元．
【解析】(1)设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为(1−a)2，再列出方程即可，
(2)根据总盈利=每千克盈利×数量，列出方程即可解答；
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45∘，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)；
(2)解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE=∠PCF，
又∵AD//BF，
∴∠DAE=∠CFP，
∴∠PCF=∠PFC，
∴CP=PF，
∴△CPF是等腰三角形；
(3)解：如图，连接DF，
∵∠PCF=∠PFC，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=MP，
∴MP=PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF=2NP=6，
∴CF= DF2−CD2= 36−16=2 5.
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质可得∠DAE=∠DCE，由余角的性质可得∠DCE=∠PCF，可得结论；
(3)由三角形中位线定理可求DF=6，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．