第32讲 平面向量的数量积及应用举例--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1 数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
[举一反三]
1．（2021·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
2．（2022·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（ ）
A．B．4C．D．8
3．（2022·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
考点2 数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．向量，夹角为
3．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知非零向量满足，且，则的值为___.
4．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A．2B．
C．D．
2．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）在△ABC中，若（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
7．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．
8．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
9．（2022·广东广州·高三开学考试）已知向量，满足，，则___________.
10．（2023·湖北·高三阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
11．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知向量、、满足，，，则______．
12．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为______．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______．
考点3 平面向量的综合应用
[名师点睛]
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
[典例]
例 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
(2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________.
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
[举一反三]
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
3．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
6．（2023·全国·高三专题练习）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
7．（2022·全国·高三专题练习）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.