第52讲 双曲线--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

这是一份第52讲 双曲线--2025高考一轮单元综合复习与测试卷，文件包含第52讲双曲线原卷版docx、第52讲双曲线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。


1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
考点1 双曲线的定义及应用
[名师点睛]
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
[典例]
1.(2022·滨州质检)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
[举一反三]
1.(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
2.已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
3.(2022·广州模拟)过双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.
考点2 双曲线的标准方程
[名师点睛]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[典例]
1.(2021·北京)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
2.若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．
[举一反三]
1.(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
2.与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
3.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.
考点3 双曲线的几何性质
[名师点睛]
1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[典例]
1.(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B.2x±eq \r(7)y＝0
C.eq \r(3)x±2y＝0 D.2x±eq \r(3)y＝0
2.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
3.(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
[举一反三]
1.(2022·济南模拟)已知双曲线eq \f(x2,m＋1)－eq \f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2
2.(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋eq \r(2)) D.(2，1＋eq \r(2))
3.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
4.(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(2\r(3),3)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
B.渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
5.(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)