第14讲 函数与方程--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
考点1 判断函数零点所在的区间
[名师点睛]
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[典例]
1．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】为连续函数，，，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，，，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上没有零点
故选：D
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数是连续函数，
∵，
，
∴，
由零点判定定理可知函数的零点在．
故选：B．
2．（2022·江苏·高三专题练习）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在上是增函数，
又，，，，，
根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是
故选：C
3．（2022·浙江·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数在R上单调递增，
且，，，
所以函数的零点所在的一个区间是.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：
可以判断方程的两根所在的区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【解析】由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，
故选：A.
考点2 判断函数零点的个数
[名师点睛]
判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点．
[典例]
1.（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】当时，，则；以此类推，当时，；…；
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.
由图可知，与的图象有7个不同的交点
故选：D
2.（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个
【答案】D
【解析】因为，所以的周期为2，
又因为为奇函数，，
令，得，又，所以，
当时，，
由单调递减得函数在上单调递增，
所以，得，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时在上只有3个零点.
当时，有4个零点.
所以当时，函数在上有4个或5个零点.
故选：D
3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
[举一反三]
1．（2022·海南·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图如图所示，
由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点
故选：C
2．（2022·重庆·模拟预测）若函数满足，且当时，，则函数与函数的图像的交点个数为（ ）.
A．18个B．16个C．14个D．10个
【答案】A
【解析】因，
于是得函数是以2为周期的周期函数，又当时，，则有函数与函数都是偶函数，
在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图，
观察图象得，函数与函数的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在时有9个交点，
所以函数与函数的图像的交点个数为18.
故选：A
3．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【答案】B
【解析】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
考点3 函数零点的应用
[名师点睛]
1．已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(或不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．
2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围．
[典例]
1．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图，
，区间正好是的一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，，
由得，，
所以，它在时是增函数，
，，
所以的取值范围是．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，可得，
因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根，
则恰有三个实根，
作出的图象，如图
由或可得：或或，且，
由即，，
由可得，
由即，，
由可得，
由即，，
由恒成立，
综上所述：，实数的取值范围为，
故选：A.
3．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵和在上是增函数，
∴在上是增函数，
∴只需即可，即，解得.
故选：D.
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．，
C．，D．，，
【答案】D
【解析】解：函数的图象如图：
方程有四个相异的实数根，
必须有两个解，①一个，一个，，
或者②，，另一个，
令，则可令，
故①，即,解得，
故②，即,解得，
综上，
故选：D
4．（多选）（2022·湖南岳阳·二模）已知函数（），，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有个零点，则
D．若存在实数使得函数有个零点，则
【答案】ABD
【解析】A：时，令，由可得，由可得或，满足题设，正确；
B：时，若有三个零点，即与有三个交点，如下图示：
∴，当趋向于0时恒有，当趋向于1时恒有，故B正确；
C：同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线移动过程中，当时恰有个零点，错误；
D：同C项分析，要使有个零点，必有，正确；
故选：ABD.
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有三个不同的实数根、、，且，则（ ）
A．B．
C．D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】作出函数与函数的图象如下图所示：
对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；
对于B选项，由图可知，，，解得，此时，
B正确；
对于C选项，当时，；当时，.
由图可知，，由可得，即，
所以，，C错误；
对于D选项，因为，所以，且，
记，，则，
令，得（舍去），
所以当时，，当时，，
所以的极小值也是最小值，，
，，所以的取值范围是，D正确.
故选：ABD.
6．（多选）（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.
则解得.
故选：BCD
7．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
【答案】
【解析】由可得，当且仅当时取等，
又，当且仅当时取等，
故，当且仅当，时取等.
要使函数有零点，则且，化简得，解得.
故答案为：.
8．（2022·浙江金华·三模）设．函数，若，则_________，若只有一个零点，则a取值范围是___________．
【答案】 或
【解析】由题意得
所以，解得或.
当时，有一个零点，所以只需时，无零点，
即方程无实根，即和的图象没有交点，
易得，令，得，，
则，即，解得，
又，时，，
综上：
故答案为：或；
9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 1
【解析】作出函数的图象，如图，
因为，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是.
故答案为：1；
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是多少？
【解】解：关于的方程有4个不同的实数根，
令，则，或，
故关于的一元二次方程有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于.
令，
①若这两个根都大于2，则由，求得.
②若这两个根都小于，则由，求得
③若这两个根一个大于2，另一个小于，则由，可得.
综上可得，的范围为，.
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c
(a＞0)
的图象
与x轴
的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点
x1，x2
x1
无
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6