第11讲 指数与指数函数--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
考点1 指数幂的运算
[名师点睛]
1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；
(2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）若，求的值．
【解】
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）计算：.
【解】，
，
，
.
2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：；
（2）化简：.
【解】（1）原式；
（2）原式.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
【解】（1）将两边平方得，所以．
（2）将两边平方得，所以．
（3）由（1）（2）可得
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的值．
【解】设，则，所以，
于是，，
而，
将平方得，于是，
所以原式.
5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：
（1）；
（2）已知，，求.
【解】（1）原式，
，
，
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
∴.
6．（2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【解】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
考点2 指数函数的图象及应用
[名师点睛]
1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．
[典例]
1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，由图得，
所以，所以排除AB，
因为由图象可知当时，，
所以，所以排除C，
故选：D
2．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；
故选：AC
考点3 指数函数的性质及其应用
[名师点睛]
1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[典例]
1．（2022·天津河西·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由指数函数的性质，可得，所以，
根据对数的运算性质，可得，所以，
由，，所以，即，
所以.
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】①当时，，在上单调递增，
，又，
恒成立；
②当时，，，
又，恒成立；
③当时，，，；
恒成立；
④当时，，，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，故对任意的，，
对任意的，不等式恒成立，
即，即对任意的恒成立，
且为正数，则，可得，所以，，可得.
故选：A.
5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数.
（1）求和的值；
（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解】解：（1）因为函数是奇函数，所以得，
则，经检验是奇函数.
又是偶函数，
所以得，则，
经检验是偶函数，∴.
（2），，
则由已知得，存在，使不等式成立，
因为，易知单调递增，∴，
∴，∴.
所以，又，解得，
所以.
[举一反三]
1．（2022·天津·一模）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，，；
，，；
.
故选：C.
2．（2022·山西吕梁·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数单调递减，故.
因为，所以.
又，所以.
综上，
故选B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数在处取得最小值得，则且
当时，又，
所以，得．
又，所以，
即，整理得，，解得．
综上，.
故选：C．
4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解：由，得，两边同除，
即，又，当且仅当，
即时取等号,所以，所以.
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________
【答案】
【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是．
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）是定义在R上的偶函数，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数在上的最小值是1，求m的值.
【解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，
整理得，所以，
又因为，可得，
所以或，
所以.
（2）由（1）可知
令，则.
因为函数在上是增函数，所以，
因为函数上的最小值是1，
所以函数在上的最小值是1.
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去.
综上，.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数且．
（1）求的值；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围．
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解】
解：（1）对于函数，由，
解得，故．
（2）若函数 有零点，
则函数的图象和直线有交点，，解得．
（3）当时，恒成立，即恒成立．
令，则，且．
由于 在上单调递减，，．即
9．（2022·北京·高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
【解】（1）当时，，
令由，
可得，
令，
有，
可得函数的值域为
故函数在上不是有界函数;
（2）由题意有，当时，
可化为
必有且，
令，由，可得，
由恒成立，可得，
令，
可知函数为减函数，有，
由恒成立，
可得
故若函数在上是以为上界的有界函数，
则实数的取值范围为.
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
在R上是增函数
在R上是减函数