初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习换元法

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换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
【典例分析】
例1、已知方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则2(x−2)−3(y+1)=133(x−2)+5(y+1)=30.9的解是：（ ）
A. x=8.3y=1.2B. x=10.3y=2.2C. x=6.3y=2.2D. x=10.3y=0.2
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．
根据换元法先令x−2=a，y+1=b，再根据二元一次方程组的解，得x−2=8.3和y+1=1.2，即可求得x与y的值．
【解答】
解：令x−2=a，y+1=b，
则方程组2(x−2)−3(y+1)=133(x−2)+5(y+1)=30.9,
可化为：2a−3b=133a+5b=30.9，
∵方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解为a=8.3b=1.2，
∴x−2=8.3y+1=1.2,
∴x=10.3y=0.2．
故选：D．
例2、已知(2016+a)(2018+a)=b，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)
【答案】4+2b
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．
令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．
【解答】
解：令2016+a=x，2018+a=y，
则(2016+a)(2018+a)=xy=b，
(2016+a)2+(2018+a)2
=x2+y2=(x−y)2+2xy
=(−2)2+2b
=4+2b；
故答案为4+2b．
例3、【阅读材料】
若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．
解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+(x−60)=20，
所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340
【解决问题】
(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；
(2)已知a1,a2,a3,均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；
(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．
【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，
则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，
∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，
即22+2cd=4042
解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；
(2)设x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，
则M=xy，
N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a20152，
M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015
由于a1,a2,a3,均为负数
所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015