初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 待定系数法

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 待定系数法，共24页。
待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
【典例分析】
例1、一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为（ ）
A. x=−1B. x=2C. x=0D. x=3
【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式．
首先利用待定系数法把(2,3)，(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b经过点(2,3)，(0,1)，
∴b=13=2k+b,
解得：b=1k=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1，
即x+1=0，
解得：x=−1，
故选A．
例2、如图，抛物线y=−x2+2x+3经过点A、B、C，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m,0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，则实数m的变化范围为______ ．
【答案】−54≤m≤5
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知识点，得到m与n的函数关系式是解题的关键．
先求得抛物线的顶点坐标和点C的坐标，设点N的坐标为(1,n)，0≤n≤4，依据待定系数法求得NC的解析式(用含n的式子表示)，然后根据相互垂直的两直线的一次项系数积为−1可得到直线MN的一次项系数，然后由点N的坐标可求得MN的解析式(用含n的式子表示)，接下来，令y=0可求得m的值(用含n的式子表示)，最后依据二次函数的性质求得m的最大值和最小值即可求得m的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
∵将x=0代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴C(0,3)．
设点N的坐标为(1,n)，0≤n≤4．
设直线CN的解析式为y=kx+3．
将N(1,n)代入得：k+3=n，解得：k=n−3．
∵∠MNC=90°，
∴直线NM的一次项系数为13−n(0≤n≤4且n≠3)．
设直线MN的解析式为y=13−nx+b．
∵将N(1,n)代入得：13−n+b=n，解得：b=n−13−n，
∴直线MN的解析式为y=13−nx+n−13−n．
∵当y=0时，13−nx+n−13−n=0，
解得：x=n2−3n+1，即m=n2−3n+1(0≤n≤4且n≠3)．
当n=3时，点M(1,0)与点F重合，
即m=1，n=3符合m=n2−3n+1，
故m=n2−3n+1(0≤n≤4)．
∵m=n2−3n+1=(n−32)2−54，
∴当n=32时，m有最小值−54．
当n=4时，m有最大值，m的最大值=42−3×4+1=5．
∴m的取值范围是：−54≤m≤5．
故答案为：−54≤m≤5．
例3、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2．
【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．
【好题演练】
一、选择题
关于x的一次二项式ax+b的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据，若ax+b=11，则x的值是（ ）
A. 3B. −5C. 6D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
设y=ax+b，把(0,−1)和(1,1)代入求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】
解：设y=ax+b，
把(0,−1)和(1,1)代入得a+b=1b=−1,
解得a=2b=−1,
∴2x−1=11，
解得：x=6．
故选C．
分解因式：6x2−13xy+6y2+5x−10y−4的结果为（ ）
A. (2x−3y+1)(3x−2y−4)B. (2x−3y−1)(3x−2y+4)
C. (2x−3y−2)(3x−2y+2)D. (2x−3y+2)(3x−2y−2)
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了多项式的因式分解，解答此题可采用待定系数法，解答此题可设6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=(2x−3y+a)(3x−2y+b)，然后展开比较可得关于a，b的方程组，从而可得a，b的值，即可分解多项式，从而可得结论．
【解答】
解∵6x2−13xy+6y2=(2x−3y)(3x−2y)，
∴可设6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=(2x−3y+a)(3x−2y+b)，
即6x2−13xy+6y2+5x−10y−4=6x2−13xy+6y2+(3a+2b)x+(−2a−3b)y+ab，a、b为待定系数，
∴3a+2b=5,−2a−3b=−10ab=−4,,
解得a=−1，b=4，
∴原式=(2x−3y−1)(3x−2y+4)．
故选B．
已知一次函数y=32x+m和的图象都经过点A−2,0，且与y轴分别交于B，C两点，那么▵ABC的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查依次函数的应用，属于中档题．
首先把(−2,0)分别代入一次函数y=32x+m和y=−12x+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】
解：y=32x+m与y=−12x+n的图象都过点A(−2,0)，
∴可得0=32×(−2)+m，0=−12×(−2)+n，
∴m=3，n=−1，
∴两函数表达式分别为y=32x+3，y=−12x−1，
直线y=32x+3与y=−12x−1与y轴的交点分别为B(0,3)，C(0,−1)，
S△ABC=12BC⋅AO=12×4×2=4．
故选C．
已知y与x的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x2成正比，另一部分是常数，且y与x的对应关系如表，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=2x2−5B. y=2x−1C. y=−25x2+35D. y=2x+1
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求h函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断．
【解答】
解：由题意设y与x的解析式为y=ax2+b，
把x=2，y=3和x=−1，y=−3代入得
4a+b=3a+b=−3，解得a=2b=−5，
∴y与x的函数关系式为y=2x2−5．
故选A．
正比例函数y=kx，当x每增加3时，y就减小4，则k=（ ）
A. 34B. −34C. 43D. −43
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把一个点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．
由于自变量增加3，函数值相应地减少4，则y−4=k(x+3)，然后展开整理即可得到k的值．
【解答】
解：根据题意得y−4=k(x+3)，
y−4=kx+3k，
而y=kx，
所以3k=−4，
解得k=−43．
故选D．
已知y与x成正比，当x=2时，y=8，那么当y=16时，x等于（ ）
A. 4B. −4C. 3D. −3
【答案】A
【解析】
【分析】
设出函数解析式，将x=2,y=8代入函数解析式即可求出k的值，进而可得解析式，再把y=16代入可得答案．
【解答】
解：设y=kx，
把x=2,y=8代入上式得：
则8=2k，
解得，k=4．
∴函数解析式为y=4x，
把y=16代入可得：16=4x，
解得：x=4，
故选A．
二、填空题
已知y−2与x成正比例，且x=2时，y=4，则y与x的函数关系式是_________；当y=3时，x=__________．
【答案】y=x+2 1
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式.解题关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的具体步骤.先根据题意把 y−2看成一个整体，因为 y−2与 x成正比例，设 y−2= kx，将 x=2， y=4代入，求出 k即可得函数关系式为 y= x+2.把y=3代入函数关系式，可得 x的值为1．
【解答】
解：设y与x的函数关系式为y−2=kx，
∴2k=4−2，
解得k=1，
∴y−2=x，
∴y=x+2．
∴y与x的函数关系式为y=x+2．
把y=3代入函数关系式，可得 x=1，
故答案为y=x+2，1．
已知y−2与2x+1成正比例，且当x=2时，y=−7，则y与x的函数解析式是 ．
【答案】y=−185x+15
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与2x+1成正比例，设y−2=k(2x+1)，根据当x=2时，y=−7，得到k的值，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−2与2x+1成正比例，
∴设y−2=k(2x+1)，
∵当x=2时，
y=−7，
∴−7−2=5k，
即k=−95，
∴y−2=−95(2x+1)，
∴y=−185x+15，
故答案为y=−185x+15．
已知y−3与x−2成正比，且当x=−2时,y=−1，则y与x的函数解析式为________．
【答案】y=x+1
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−3与x−2成正比例，设y−3=k(x−2)，根据当x=−2时，y=−1，得到k=1，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−3与x−2成正比例，
∴设y−3=k(x−2)，
∵当x=−2时，
y=−1，
∴−4=−4k，
即k=1，
∴y−3=x−2，
∴y=x+1，
故答案为y=x+1．
某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg．
【答案】30
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
由图已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即y=0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】
解：设一次函数y=kx+b，
∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，
∴60k+b=680k+b=10
∴k=15b=−6,
∴所求函数表达式为y=15x−6，
当y=0时，15x−6=0，
∴x=30，
故旅客可免费携带的行李的质量是30kg．
故答案为30．
已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,−5)，且与直线y=−3x+2平行，那么该一次函数的解析式为_________．
【答案】y=−3x−2
【解析】
【分析】
此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
根据两条直线平行，则k值相等，再根据一次函数的图象经过点(1,−5)，求得b的值，就得到函数解析式．
【解答】
解：∵y=kx+b与直线y=−3x+2平行，
∴k=−3，
∴y=−3x+b，
∵一次函数的图象经过点(1,−5)，
∴b=−2.
∴这个一次函数的解析式是y=−3x−2.
故答案为y=−3x−2．
若y−2与x−3成正比例，且x=4时，y=3，则y与x的函数解析式为________．
【答案】y=x−1
【解析】
【分析】
此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与x−3成正比例，设y−2=k(x−3)，根据当x=4时，y=3，得到k=1，即可得到y与x的函数解析式．
【解答】
解：∵y−2与x−3成正比例，
∴设y−2=k(x−3)，
∵当x=4时，y=3，
∴3−2=k，
即k=1，
∴y−2=x−3，
∴y=x−1，
故答案为y=x−1．
三、解答题
为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时，y与x的函数关系式；
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】解：(1)y=130x(0≤x≤300)80x+15000(x>300)
(2)设甲种花卉种植为am2，则乙种花卉种植(1200−a)m2．
∴a≥200a≤2(1200−a)，
∴200≤a≤800
当200≤a≤300时，W1=130a+100(1200−a)=30a+120000．
当a=200 时．Wmin=126000元
当300