北京市顺义XX中学2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份北京市顺义XX中学2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b
3．内角和为720◦的多边形是（ ）
A． B． C．D．
4．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2的图象过点A，B、O，则对a的判断正确的是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a≥0 D．a≤0
5．若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1
6．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）

A． B． C． D．
7．抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣1;B．y=2（x+1）2﹣3;C．y=2（x﹣1）2﹣3; D．y=2（x﹣3）2+1
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（ ）
A．y=3x B． C． D．y=x2
10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为 ．
12．已知函数满足下列两个条件：
①x＞0时，y随x的增大而增大；
②它的图象经过点（1，2）．
请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ．
13．直线L1∥L2∥L3，直线L4被L1，L2，L3所截，其中截得的两条线段分别为AB，BC．L5是另外一条被L1，L2，L3所截的直线，其中截得的两条线段分别为DE，EF．小明通过测量得出AB≈1.89cm，BC≈3.80cm，DE≈2.02cm，那么EF约等于 cm．
14．已知反比例函数y=图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）能正确反映y1，y2，y3的大小关系的是 ．
15．如图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式： ．
16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．

三、解答题（13小题，第18题、19题、21题、23题、24题、25题，每小题4分，17、20题每小题4分，第22、26、28、29题6分，共72分）
17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．
20．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12．求AD的长．
21．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= ．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A﹙﹣2，﹣5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y=（m≠0）和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC，求△AOC的面积．
（3）x为何值时，反比例函数值大于一次函数值？
23．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．
24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
25．某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供的信息如图：
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？
26．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
27．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质：
小宏根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
下面是小宏的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值
求m，n的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① ② ．
28．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

2016-2017学年北京市顺义XX中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28000=1.1×104．
故选：C．

2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣bD．a＜﹣b
【考点】实数与数轴．
【分析】利用数轴上a，b所在的位置，进而得出a以及﹣b的取值范围，进而比较得出答案．
【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；
D、由选项C可得，此选项正确．
故选：D．

3．内角和为720◦的多边形是（ ）
A．B．C．D．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设多边形边数为n，根据多边形内角和定理可得方程180（n﹣2）=720，再解即可得到答案．
【解答】解：设多边形边数为n，则：
180（n﹣2）=720，
解得：n=6，
故选：D．

4．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2的图象过点A，B、O，则对a的判断正确的是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a≥0D．a≤0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数y=ax2的图象性质以及点A，B均在x轴上方可得ax2≥0，进而求出a＞0．
【解答】解：∵二次函数y=ax2的图象过点A，B、O，
∴ax2≥0，
∵x=0时，y=0；x≠0时，y≠0，
∴a＞0．
故选B．

5．若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（ ）
A．﹣12B．﹣7C．﹣1D．1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，
∴3=ab，
∴ab﹣4=3﹣4=﹣1．
故选：C．

6．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，而E是AB的中点，BE=AB=CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，
∴BE=AB=CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴=（）2=．
故选C．

7．抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣1B．y=2（x+1）2﹣3C．y=2（x﹣1）2﹣3D．y=2（x﹣3）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=2x2﹣3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=2x2﹣3向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣3．
故选：B．

8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得△AFE∽△BFC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴AF：CD=AE：ED，
∵AE=2ED，
∴AF：CD=AE：ED=2：1，
∴=．
故选D．

9．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（ ）
A．y=3xB．C．D．y=x2
【考点】反比例函数的性质；正比例函数的性质；二次函数的性质．
【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点，与题目描述相符的即为正确的，不符的就是错误的，本题得以解决．
【解答】解：y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；
故选B．

10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质．
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF==
∴FG=
∴CG=﹣1
∴=
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为 x1=1，x2=﹣3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x=﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x=﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=﹣3，
故答案为：x1=1，x2=﹣3．

12．已知函数满足下列两个条件：
①x＞0时，y随x的增大而增大；
②它的图象经过点（1，2）．
请写出一个符合上述条件的函数的表达式 y=2x（答案不唯一） ．
【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质．
【分析】根据y随着x的增大而增大推断出k与0的关系，再利用过点（1，2）来确定函数的解析式．
【解答】解：∵y随着x的增大而，增大
∴k＞0．
又∵直线过点（1，2），
∴解析式为y=2x或y=x+1等．
故答案为：y=2x（答案不唯一）．

13．直线L1∥L2∥L3，直线L4被L1，L2，L3所截，其中截得的两条线段分别为AB，BC．L5是另外一条被L1，L2，L3所截的直线，其中截得的两条线段分别为DE，EF．小明通过测量得出AB≈1.89cm，BC≈3.80cm，DE≈2.02cm，那么EF约等于 4.06 cm．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，代入数据即可得到结论．
【解答】解：L1∥L2∥L3，
∴=，
即=，
∴EF≈4.06．
故答案为：4.06．

14．已知反比例函数y=图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）能正确反映y1，y2，y3的大小关系的是 y2＜y1＜y3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】将A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）分别代入解析式求出y1，y2，y3的值再进行比较即可．
【解答】解：将A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）分别代入解析式y=得，
y1=﹣3.5，y2=﹣7，y3=3.5．
于是可知y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．

15．如图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式： m（a+b+c）=ma+mb+mc ．
【考点】单项式乘多项式．
【分析】从两方面计算该图形的面积即可求出该等式．
【解答】解：从整体来计算矩形的面积：m（a+b+c），
从部分来计算矩形的面积：ma+mb+mc，
所以m（a+b+c）=ma+mb+mc
故答案为：m（a+b+c）=ma+mb+mc

16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
∴MN=BD=AB，
∴==，
故答案为：．

三、解答题（13小题，第18题、19题、21题、23题、24题、25题，每小题4分，17、20题每小题4分，第22、26、28、29题6分，共72分）
17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】求出 不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：
解不等式①得：x＜8，
解不等式②得：x＞1．
∴不等式组的解集为：1＜x＜8，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．

18．求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点坐标以及对称轴，再求出图象与坐标轴交点，进而得出答案．
【解答】解：y=x2﹣4x+3
=（x﹣2）2﹣1，
则抛物线的顶点坐标为：（2，﹣1），对称轴为直线：x=2，
当y=0，则0=（x﹣2）2﹣1，
解得：x1=1，x2=3，
故抛物线与x轴交点为：（1，0），（3，0）．
如图所示：

19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】由图象可知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点（0，3）和（1，0），将两点坐标代入求出b与c的值，确定出二次函数解析式，即可确定出顶点坐标．
【解答】解：由图象可知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点（0，3）和（1，0），
∴将两点坐标代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x2+2x+1）+4=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．

20．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12．求AD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵DE=3，BC=5，AC=12，
∴．
∴AD=．

21．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，
∴AD：AB=2：3，
∵AD=4，
∴AB=6，
∴DB=AB﹣AD=2，
故答案为：2．

22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A﹙﹣2，﹣5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y=（m≠0）和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC，求△AOC的面积．
（3）x为何值时，反比例函数值大于一次函数值？
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A的坐标代入y═求出m，即可得出反比例函数的表达式，把C的坐标代入y=求出C的坐标，把A、C的坐标代入y=kx+b得出方程组，求出k、b，即可求出一次函数的表达式；
（2）把x=0代入y=x﹣3求出OB，分别求出△AOB和△BOC的面积，相加即可；
（3）根据A、C的坐标和图象得出即可．
【解答】解：（1）把A﹙﹣2，﹣5﹚代入y=得：m=10，
即反比例函数的表达式为y=，
把C﹙5，n﹚代入y=得：n=2，
即C（5，2），
把A、C的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=1，b=﹣3，
所以一次函数的表达式为y=x﹣3；
（2）把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3，
即OB=3，
∵C（5，2），A﹙﹣2，﹣5﹚，
∴△AOC的面积为×3×|﹣2|+×3×5=10.5；
（3）由图象可知：当kx+b＞时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞5．

23．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 y=﹣x2 ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】抛物线的顶点是原点，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线的交点，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：水面与抛物线的交点坐标是（﹣2，﹣2），
设函数的解析式是y=ax2，
则4a=﹣2，
解得a=﹣，
则函数的解析式是y=﹣x2．
故答案是：y=﹣x2．

24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．

25．某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供的信息如图：
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）把x=3分别代入两个函数的解析式求得售价和成本，然后求差即可；
（2）根据收益等于售价减去成本，则收益可以表示成月份x的函数，然后根据函数的性质求解．
【解答】解：（1）3月份每千克的售价是﹣×3+7=5（元），
3月份每千克的成本是×（3﹣6）2+1=4（元），
则每千克的收益是5﹣4=1（元）；
（2）这种蔬菜的收益w=（﹣x+7）﹣[（x﹣6）2+1]，即w=﹣x2+x+6=﹣（x2﹣10x+25﹣25）+6
=﹣（x﹣5）2+，
则5月份收益最大．

26．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）本题的突破口在于利用△．化简得出（m+2）2＞0得出△＞0．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x2﹣2x1求出关于m的解析式．
【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2．
∵当m＞0时，（m+2）2＞0，即△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由求根公式，得．
∴或x=1．
∵m＞0，
∴．
∵x1＜x2，
∴x1=1，．
∴y=x2﹣2x1=﹣2×1=．
即y=（m＞0）为所求．
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=（m＞0）与y=2m（m＞0）的图象．
由图象可得，当m≥1时，y≤2m．

27．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质：
小宏根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
下面是小宏的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值
求m，n的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① x＜0时，函数y随x的增大而增大． ② x＞0时，函数y随x的增大而增大． ．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．
【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、
（2）利用描点法即可画出图象，观察图象可得函数的性质．
【解答】解：（1）数y=的自变量x的取值范围x≠0，
故答案为x≠0．
（2）函数图象如图所示，
性质①x＜0时，函数y随x的增大而增大．
②x＞0时，函数y随x的增大而增大．
故答案为：x＜0时，函数y随x的增大而增大；为x＞0时，函数y随x的增大而增大．

28．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==，
∴CD=×2=﹣．

29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，
∴c=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴E（1，﹣4），
∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，BE=2，CE=，
∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=，
∴，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③当PC=BC时，
∴3=，
∴m=﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）

2017年3月1日 x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
0
m
﹣
﹣
0
n
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
0
m
﹣
﹣
0
n
…