安徽省合肥市包河区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份安徽省合肥市包河区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1
2．抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．反比例函数y=的图象在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．已知：，那么下列式子成立的是（ ）
A．3x=2y B．xy=6 C． D．
5．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2
C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2
6．若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
7．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
8．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上，则矩形ABOC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k＜0）图象上的两点，则有（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b2=4ac；③a+c=b﹣2；④m（am+b）+b＞a（m≠﹣1），其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知=，则的值是 ．
12．反比例函数y=图象经过点（7，4），若点（1，n）在该图象上，则n= ．
13．已知二次函数y=（a﹣1）x2+3x+a（a﹣1）的图象过原点，则a的值为 ．
14．设a＜﹣1，0≤x≤﹣a﹣1，且函数y=x2+ax的最小值为﹣，则常数a= ．
三、解答题（本大题共2小题，70分）
15．若==（x、y、z均不为零），求的值．
16．如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的范围．

四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．
18．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空，如果增加排水管，使每小时的排水量达到x（m3），将满池水排空所需的时间y（h）．
（1）直接写出y与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果要在4～5h内将满池水排空，那么每小时的排水量应该控制在什么范围内？

五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）当AD=2， =时，求AF的长．
20．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BC上一点，AE与BD相交于点F．
求证： =．

六、（本题满分12分）
21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

七、（本题满分12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、B两点的横坐标分别为1和3．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在一点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

八、（本题满分14分）
23．如图所示，在长32m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成逐渐隔有两道篱笆的矩形花圃，设AB的长为x m，花圃的面积为S m2．
（1）求S与x的函数关系式（不用自变量取值范围）；
（2）如果能围成面积为48m2的花圃，那么AB的长是多少m？
（3）能围成比48m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积及AB的值；如果不能，请说明理由．

2016-2017学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1B．y=x3﹣2x﹣3C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1
【考点】二次函数的定义．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0）的关系式称为二次函数，根据此定义即可判断．
【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）
（A）最高次数项为1次，故A错误；
（B）最高次数项为3次，故B错误；
（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；
故选（D）

2．抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（3，﹣1）．
故选B．

3．反比例函数y=的图象在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可得答案．
【解答】解：反比例函数y=的图象在第一、三象限，
故选：A．

4．已知：，那么下列式子成立的是（ ）
A．3x=2yB．xy=6C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的基本性质逐项判断．
【解答】解：A、∵，∴2x=3y，故A错误；
B、∵，∴设x=3k，y=2k（k≠0），则xy=6k2，故B错误，
C、∵，∴，故C错误；
D、∵，∴，故D正确．
故选D．

5．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=3（x﹣1）2﹣2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2D．y=3（x﹣1）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．

6．若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4
【考点】二次函数的性质．
【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．
【解答】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x==3；
故选C．

7．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． =B． =C． =D． =
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴；
故选：B．

8．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上，则矩形ABOC的面积等于（ ）
A．8B．6C．4D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由矩形的性质可得出AC⊥y轴、AB⊥x轴，再根据点A在反比例函数y=﹣的图象上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形ABOC的面积．
【解答】解：∵四边形ABOC是矩形，
∴AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∵点A在反比例函数y=﹣的图象上，
∴S矩形ABOC=|k|=4．
故答案为：4．

9．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k＜0）图象上的两点，则有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【解答】解：∵反比例函数y=（k＜0）中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜0，
∴点A（﹣2，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵3＞0，
∴B（3，y2）点在第四象限，
∴y2＜0，
∴y1，y2的大小关系为y2＜0＜y1．
故选B．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b2=4ac；③a+c=b﹣2；④m（am+b）+b＞a（m≠﹣1），其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线开口向下a＞0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣＜0，b＜0，所以abc＜0；
②根据抛物线与x轴有一个交点，得到b2﹣4ac=0，于是得到b2=4ac；
③根据x=﹣1时，y=a+c﹣b=0，判断结论；
⑤根据x=﹣1时，函数y=a+b+c的值最小，得出当m≠﹣1时，有a﹣b+c＞am2+bm+c，判断结论．
【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有一个交点，
∴b2﹣4ac=0，
∴b2=4ac；故②正确；
∵当x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴a+c=b，故③错误；
∵当x=﹣1时，二次函数有最小值，所以当m≠﹣1时，有a﹣b+c＜am2+bm+c，所以a＜m（am+b）+b，故④正确．
故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知=，则的值是 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解：由分比性质，得==，
故答案为：．

12．反比例函数y=图象经过点（7，4），若点（1，n）在该图象上，则n= 28 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（7，4），
∴k=7×4=28；
∵点（1，n）在该反比例函数图象上，
∴1×n=28，解得n=28．
故答案为：28．

13．已知二次函数y=（a﹣1）x2+3x+a（a﹣1）的图象过原点，则a的值为 0 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式得到关于a的方程，然后解方程，还要使a﹣1≠0即可．
【解答】解：把（0，0）代入y=（a﹣1）x2+3x+a（a﹣1），得a（a﹣1）=0，
解得a=0或1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a=0，
故答案为0．

14．设a＜﹣1，0≤x≤﹣a﹣1，且函数y=x2+ax的最小值为﹣，则常数a= ﹣或﹣2 ．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据已知条件得到抛物线y=x2+ax与x轴的交点为（0，0），（﹣a，0），求得﹣a＞1，抛物线y=x2+ax的对称轴为直线x=﹣，当﹣＞1时，求得a=﹣；当﹣＜1时，求得a=﹣2．
【解答】解：令y=0，则x2+ax=0，
解得：x=0或﹣a，
∴抛物线y=x2+ax与x轴的交点为（0，0），（﹣a，0），
∵a＜﹣1，
∴﹣a＞1，
∵抛物线y=x2+ax的对称轴为直线x=﹣，
∴当﹣＞1时，
即当x=1时，函数y=x2+ax有最小值，
∴1+a=﹣，
∴a=﹣；
当﹣＜1时，
即当x=﹣时，函数y=x2+ax有最小值，
∴﹣=﹣，
∴a=±2；
∵a＜﹣1，
∴a=﹣2，
综上所述：常数a=﹣或﹣2，
故答案为：﹣或﹣2．

三、解答题（本大题共2小题，70分）
15．若==（x、y、z均不为零），求的值．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：设===k，
x=6k，y=4k，z=3k．
==．

16．如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，2），B（﹣1，m）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入反比例函数解析式，求得B的坐标，最后用待定系数法求得一次函数解析式；
（2）一次函数的值小于反比例函数值的x的范围，就是反比例函数图象在一次函数图象上边时对应的x的范围．
【解答】解：（1）把（2，2）代入y=得k2=4，
则反比例函数的解析式是y=，
把（﹣1，m）代入解析式得m=﹣4，
则B的坐标是（﹣1，﹣4）．
根据题意得，
解得：，
则一次函数的解析式是y=2x﹣2；
（2）根据图象可得x的范围是：x＜﹣1或x＞2．

四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB=3，AD=2，DE=4，
∴，解得BC=6，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，解得BF=2.5．

18．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空，如果增加排水管，使每小时的排水量达到x（m3），将满池水排空所需的时间y（h）．
（1）直接写出y与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果要在4～5h内将满池水排空，那么每小时的排水量应该控制在什么范围内？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）首先求得水池的蓄水量，然后根据xy=蓄水量即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）此题须把t=4和t=5代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；
【解答】解：（1）∵蓄水池的排水管每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空，
∴蓄水量为6×8=48m3，
∴xy=48，
∴此函数的解析式y=；
（3）当t=4时，V==12m3；
当t=5时，V==9.6m3；
∴每小时的排水量应该是9.6﹣12m3；

五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）当AD=2， =时，求AF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）首先求出DE、AE，由△ABF∽△EAD，得=，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2
∵=，
∴DE=CD=，
在Rt△ADE中，AE===，
∵△ABF∽△EAD，
∴=，
∴=，
∴AF=2．

20．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BC上一点，AE与BD相交于点F．
求证： =．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
【分析】作EH∥AC交BD于H，根据平行线分线段成比例定理得到 =， =，由AD=CD，即可证明=．
【解答】证明：作EH∥AC交BD于H，
∴=， =，
∵AD=CD，
∴=．

六、（本题满分12分）
21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．
（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值，从而得出答案；
（3）由“每个月的利润不低于2200元”列出关于x的不等式，解之可得．
【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）
=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）根据（1）得：y=﹣10x2+110x+2100=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）根据题意得，﹣10x2+110x+2100≥2200，
解得：1≤x≤10，
故1≤x≤10且x为整数时，每个月的利润不低于2200元．

七、（本题满分12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、B两点的横坐标分别为1和3．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在一点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据x轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）将点A，B坐标代入抛物线解析式，解方程组即可；
（3）根据∠BAP=45°，得|m|=1，再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况求出直线AP的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，且A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）由（1）知，A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y=2x2﹣8x+6；
（3）假设存在点P，设直线AP的解析式为y=mx+n，
∵∠BAP=45°，
∴|m|=1，
当点P在x轴上方时，m=1，
∵A（1，0），
∴直线AP的解析式为y=x﹣1①，
∵点P在抛物线y=2x2﹣8x+6②上，
∴联立①②得，
∴（舍去）或，
∴P（，），
当点P在x轴下方时，m=﹣1，
∵A（1，0），
∴直线AP的解析式为y=﹣x+1③，
联立②③得，
∴（舍）或，
∴P（，﹣），
即：P（，）或（，﹣）．

八、（本题满分14分）
23．如图所示，在长32m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成逐渐隔有两道篱笆的矩形花圃，设AB的长为x m，花圃的面积为S m2．
（1）求S与x的函数关系式（不用自变量取值范围）；
（2）如果能围成面积为48m2的花圃，那么AB的长是多少m？
（3）能围成比48m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积及AB的值；如果不能，请说明理由．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设AB=x米，则BC=32﹣4x米，由矩形的面积公式可得；
（2）根据题意列出方程，解方程求得x的值，结合墙的最大可用长度为10m即32﹣4x≤10，可得x的范围，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，结合x的范围求得最值即可得．
【解答】解：（1）设AB=x米，则BC=32﹣4x米，
∴S=x（32﹣4x）=﹣4x2+32x；
（2）根据题意得：﹣4x2+32x=48，即x2﹣8x+12=0，
解得：x=2或x=6，
∵32﹣4x≤10，即x≥5.5，
∴x=6，即AB=6米；
（3）能，
∵S=﹣4x2+32x=﹣4（x﹣4）2+64，
∴当x＞4时，S随x的增大而减小；
∵x≥5.5，
∴x=5.5时，S取得最大值，最大值为55m2．

2017年3月21日