2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷 （含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，则数列{an}的前5项和为（ ）
A．11B．16C．﹣15D．﹣7
2．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.14B．0.18C．0.32D．0.64
4．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ）
A．10B．15C．60D．125
5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（ ）
A．29B．19C．6D．5
7．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70B．64C．58D．24
8．已知函数f（x）＝xa﹣lgbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（ ）
A．eB．2eC．e2D．2e2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（ ）
（参考公式：，；参考数据：）
A．经验回归直线经过点（5，60）
B．经验回归方程为
C．样本点（8，70）的残差为﹣3
D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元
（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
D．
（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为Pm，则（ ）
A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列
B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列{an}满足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），则a3＝ ．
13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 ．
14．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．
16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？
（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．
附：（其中n＝a+b+c+d）
17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
19．（17分）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作．记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，恰有2个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1与p2，q2；
（2）设an＝pn+2qn，求证：数列{an﹣1}是等比数列；
（3）求Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，则数列{an}的前5项和为（ ）
A．11B．16C．﹣15D．﹣7
【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解．
解：因为等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，
则数列{an}的前5项和为1﹣2+4﹣8+16＝11．
故选：A．
2．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合函数的求导公式即可求解．
解：因为，
所以，
则＝﹣．
故选：D．
3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（ ）
A．0.14B．0.18C．0.32D．0.64
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．
解：∵X～N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，
∴P（1＜X≤2）＝P（0＜X≤2）＝0.36＝0.18，
∴P（X＞2）＝0.5﹣P（1＜X≤2）＝0.5﹣0.18＝0.32．
故选：C．
4．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ）
A．10B．15C．60D．125
【分析】利用分步计数原理求解即可．
解：由题意可分三步：甲同学有5种选法，乙同学有5种选法，丙同学有5种选法，共5×5×5＝53＝125种．
故选：D．
5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合贝叶斯公式，直接求解．
解：取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是：＝．
故选：B．
6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（ ）
A．29B．19C．6D．5
【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可．
解：因为随机变量λ取可能的值1，2，…，n是等可能的，
所以，（i＝1.2．…，n），
所以，
所以，解得n＝29．
故选：A．
7．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70B．64C．58D．24
【分析】根据平行六面体的结构特征以及排列组合相关知识可解．
解：从平行六面体的8个顶点中任选4个有种情况，
又要使能构成四面体则这四个顶点不在同一平面内，共有6个面和6个对棱构成的平面，共6+6＝12个，
则以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为70﹣12＝58个．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝xa﹣lgbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（ ）
A．eB．2eC．e2D．2e2
【分析】由题意可得当0＜b＜1时，不合题意；当b＞1时，利用导数可得alnb＝1，从而得ab2＝，令g（b）＝，b＞1，利用导数求解最小值即可．
解：因为函数f（x）＝xa﹣lgbx的定义域为（0，+∞），
当0＜b＜1时，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（b）＝ba﹣1＜b0﹣1＝0，不合题意；
当b＞1时，，
令f'（x0）＝0，解得，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝x0时，f（x）有极小值，也是最小值，
又因为f（1）≥1且f（1）＝1，
所以，则 ，得alnb＝1，
所以ab2＝，
令g（b）＝，b＞1，
则g'（b）＝，
又因为b＞1，lnb＞0，
所以当b∈（1，）时，g'（b）＜0，g（b）单调递减，
当b∈（，+∞）时，g'（b）＞0，g（b）单调递增，
所以g（b）min＝g（）＝＝2e．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（ ）
（参考公式：，；参考数据：）
A．经验回归直线经过点（5，60）
B．经验回归方程为
C．样本点（8，70）的残差为﹣3
D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元
【分析】根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解．
解：由题意可知，，，
故经验回归直线经过点（5，52），故A错误；
由题意可知，＝7，
＝52﹣7×5＝17，
故经验回归方程为，故B正确；
样本点（8，70）的残差为70﹣（7×8+17）＝﹣3，故C正确；
当x＝10时，y＝7×10+17＝87，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
D．
【分析】A：令x＝0即可判断；B：令x＝1即可判断；C：根据二项式系数的性质即可判断；D：令x＝，化简即可判断．
解：A：令x＝0，则展开式中常数项为a0＝1，故A正确；
B：令x＝1，则展开式中各项系数和为（1﹣2）2024＝1，故B错误；
C：因为n＝2024为偶数，所以展开式中二项式系数最大项为第1013项，故C错误；
D：令x＝，则a0+＝（1﹣2×）2024＝0，则＝0﹣1＝﹣1，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为Pm，则（ ）
A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列
B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列
C．
D．
【分析】对于A和B根据定义进行判断即可；对于C和D，先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可．
解：对于A，因为从数列a1，a2，…，a6中删去a1，a6以后，数列a2，a3，a4，a5可以分成一组，并且依然构成等差数列，
所以数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，故A正确；
对于B，从数列a1，a2，…，a10删去a2，a9以后，剩余的项可以平均分成两组a1，a3，a5，a7和a4，a6，a8，a10，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为d（d≠0），这两个数列的公差为2d，
所以数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列，故B正确；
对于C，当m＝1时，根据定义，数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，也可以是（1，2）可分数列，也可以是（5.6）可分数列共三种，
所以，故C正确；
对于D，当m＝2时，根据定义，数列a1，a2，…，a10为（i，j）（i＜j）可分数列的情况有：
（1，2），（1，6），（1，10），（2，9），（5，6），（5，10），（，10）共7种，
所以，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列{an}满足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），则a3＝ ．
【分析】由数列的递推式，取n＝1，n＝2，分别求得a2，a3．
解：由a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），
可得an+1＝，
即有a2＝＝，
a3＝＝．
故答案为：．
13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 0.4 ．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
解：设该名学生近视的概率为x，
由题意可知，25%×80%+（1﹣25%）x＝50%，解得x＝0.4．
故答案为：0.4．
14．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 （0，1] ．
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值的转化关系即可求解．
解：因为f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，
所以f′（x）＝ex+csx﹣2（a2+lna）≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以2（a2+lna）≤ex+csx在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝ex+csx，x＞0，
则g′（x）＝ex﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝2，
所以2（a2+lna）≤2，
即a2+lna≤1，
因为h（a）＝a2+lna在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝1，
所以0＜a≤1．
故答案为：（0，1]．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．
【分析】（1）由导数的几何意义可得函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，则12a+b＝﹣9①，8a+2b+8＝6②，解得a，b．
（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，求导分析单调性，极值，端点处函数值，即可得出答案．
解：（1）f′（x）＝3ax2+b，
所以函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，
又f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，
所以12a+b＝﹣9，①
又f（2）＝8a+2b+8，
因为f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，
所以f（2）＝﹣9×2+24＝6，
所以8a+2b+8＝6，②
由①②，解得a＝﹣1，b＝3．
（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，
所以f′（x）＝﹣3x2+3，
令f′（x）＝0，得x＝±1，
所以在（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（﹣1）＝6，f（1）＝10，f（3）＝﹣10，f（﹣2）＝10，
所以f（x）的最大值为10，最小值为﹣10，
所以函数f（x）在[﹣2，3]上的值域为[﹣10，10]．
16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？
（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．
附：（其中n＝a+b+c+d）
【分析】（1）将表中数据代入公式，求得χ2的值，分析即可得答案；
（2）找到f（p）＝10（1﹣p）2p3（0＜p＜1），利用导数研究最大值．
解：（1）2×2列联表：
，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关．
（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为（0＜p＜1），
则f′（p）＝10[﹣2（1﹣p）p3+3（1﹣p）2p2]＝10p2（5p2﹣8p+3），
令f′（p）＝0，得，
当时，f'（p）＞0，则函数f（p）单调递增，
当时，f'（p）＜0，则函数f（p）单调递减，
所以当时，函数f（p）取得极大值，极大值为，
即当时，函数f（p）取得最大值．
17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n．
【分析】（1）由等差数列的中项性质和an与Sn的关系，结合等差数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由数列的分组求和、等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
解：（1）由an＞0，且2an，2Sn，成等差数列，
可得4Sn＝2an+，
当n＝1时，4a1＝4S1＝2a1+，解得a1＝2，
当n≥2时，由4Sn＝2an+，可得4Sn﹣1＝2an﹣1+，
两式相减可得4an＝2an﹣2an﹣1+﹣，
即为2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，
则数列{an}是首项和公差为2的等差数列，
即有an＝2n；
（2）bn＝＝，
则数列{bn}的前2n项和T2n＝2（1+3+5+...+2n﹣1）+（﹣+﹣+...+﹣）
＝2×n（1+2n﹣1）+（﹣）＝2n2+．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数f（x）的最小值，构造g（x）＝lnx+x﹣1，构造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，得到lnx≤x﹣1＜x，从而f（x）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），确定a的范围即可．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′（x）＝2x+1﹣2a﹣＝，
若a≤0，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；
若a＞0，则当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，a）单调递减，则（a，+∞）单调递增．
（2）由（1）可知，要使f（x）有两个零点，则a＞0，
则f（x）min＝f（a）＝﹣a2+a﹣alna＜0，即lna+a﹣1＞0，
构造g（x）＝lnx+x﹣1，则g′（x）＝+1＞0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，故由g（a）＞0，得a＞1，
当a＞1时，由f（e﹣1）＝++a（）＞0，则f（e﹣1）•f（a）＜0，
结合零点存在性知，在（0，a）存在唯一实数x1，使得f（x1）＝0，
构造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，则h′（x）＝﹣1≤0，
故h（x）在[1，+∞）单调递减，又h（1）＝0，故h（x）≤0，即lnx≤x﹣1＜x，
则2x+lnx＜3x，故f（x）＝x2+x﹣a（2x+lnx）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），
则f（3a）＞3a＞0，则f（a）•f（3a）＜0，又3a＞a＞1，
结合零点存在性知，在（a，+∞）存在唯一实数x2，使得f（x2）＝0，
综上，当f（x）有两个零点时，a∈（1，+∞）．
19．（17分）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作．记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，恰有2个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1与p2，q2；
（2）设an＝pn+2qn，求证：数列{an﹣1}是等比数列；
（3）求Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．
【分析】（1）结合独立事件乘法公式求p1，q1，利用全概率公式求p2，q2；
（2）利用全概率公式求得pn+1、qn+1与pn，qn的关系，从而得到an+1与an的关系，证明数列{an﹣1}是等比数列；
（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到E（Xn）．
解：（1）p1为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球“的概率，则，
q1为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球“的概率，则，
p2为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球“的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
则，
q2为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球“的概率，
则；
证明：（2）pn+1是“重复n+l次操作后，甲口袋中有1个黑球“的概率，与n次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个、0个3种情况，所以，
qn+1是“重复n+1次操作后，甲口袋中有2个黑球“的概率，与n次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以，
从而数列{an﹣1}是以为首项，以为公比的等比数列；
解：（3）由（2）知，即，
Xn的取值范围为{0，1，2}，所以．
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
非体育迷
体育迷
合计
男
30
45
女
10
合计
75
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
非体育迷
体育迷
合计
男
30
45
女
10
合计
75
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
非体育迷
体育迷
合计
男
300
1513
45
女
45
1010
55
合计
75
2525
100