2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知复数z=2−ii，则z的虚部为( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
3.“a=1”是“函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
5.过坐标原点O向圆C：x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为M，N，则tan∠MON=( )
A. 34B. 43C. 3D. 12
6.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是( )
A. [2,3]B. [0,1]C. [0,2]D. [−3,2]
7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y =0.4x+a ，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：i=16yi2=796,i=16(yi−y−)2=70.则下列说法不正确的是( )
A. 经验回归直线经过点(3.5,11)
B. a =9.6
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点(x4,y4)的残差为0.1
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 2的圆，圆心到伞柄底端距离为 2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. 2− 3B. 2−1C. 3−1D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sinx⋅|csx|，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)的最小值为−12D. f(x)在[0,π2]上单调递增
10.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当aax，其中a>0，且a≠1，求实数a的值．
答案解析
1.D
【解析】解：当a=1时，b=1、0、−1，则a+b=2、1、0；
当a=−1时，b=1、0、−1，则a+b=0、−1、−2；
集合C={a+b|a∈A,b∈B}={−2,−1,0,1,2}．
故选D．
2.C
【解析】解：z=2−ii=(2−i)ii2=−1−2i，
则z的虚部为−2．
故选：C．
3.A
【解析】解：根据题意，若a=1，则f(x)=2x−12x+1，
则f(−x)=12x−112x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)，
所以f(x)是奇函数；
反之，若函数f(x)=2x−a2x+a在其定义域上为奇函数，
可得f(−x)=12x−a12x+a=1−a⋅2x1+a⋅2x=−f(x)=−2x−a2x+a=a−2x2x+a，
解得a=±1，
∴a=1是函数f(x)=2x−a2x+a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．
故选：A．
4.A
【解析】解：根据中位数的定义，该组数据的中位数是m+122，
根据极差的定义，该组数据的极差是21−1=20，
依题意得，m+122=20×25，解得m=4，
因为6×0.45=2.7∉Ζ，
根据百分位数的定义，
该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即为4．
故选：A．
5.B
【解析】解：解法一：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，
该圆的圆心为C(2,1)，半径为1，如图所示，连接OC，CN，
易知tan∠MOC=tan∠CON=|CN||ON|=12，
所以tan∠MON=tan(∠MOC+∠CON)=12+121−12×12=43，
解法二：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，
该圆的圆心为C(2,1)，半径为1，设直线OM的方程为y=kx，
则|2k−1| k2+1=1，解得：k=0或k=43，所以tan∠MON=43．
故选：B．
6.D
【解析】解：因为菱形ABCD中，AC=2，BD=4，
设对角线AC与BD相交于点O，则AC⊥BD，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,−1)，C(0,1)，B(2,0)，D(−2,0)，
因为点E在线段CD上，
所以设DE=λDC(0≤λ≤1)，即DE=λ(2,1)=(2λ,λ)，
所以AB=(2,1)，AE=AD+DE=(−2,1)+(2λ,λ)=(2λ−2,λ+1)，
所以AB⋅AE=2(2λ−2)+λ+1=5λ−3，
因为0≤λ≤1，所以5λ−3∈[−3,2]．
故选：D．
7.D
【解析】解：由表中数据可知，x−=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，
i=16yi2=796,i=16(yi−y−)2=70，
则i=16(yi−y−)2=i=16yi2−6y−2=70，解得y−=11，
故经验回归直线经过点(3.5,11)，故A正确；
经验回归方程为y =0.4x+a ，
则11=0.4×3.5+a ，解得a =9.6，故B正确；
当x=12时，y =0.4×12+9.6=14.4，
故该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元，故C正确；
点(x4,y4)的残差为11.1−(0.4×4+9.6)=−0.1，故D错误．
故选：D．
8.A
【解析】解：如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由OF⊥BC,|OF|=|OB|= 2，得a+c=|BF|=2，∠FBC=45°，|AB|=2a,|BC|=2 2，
在△ABC中，∠BAC=60°，则∠ACB=75°，
又sin75°=sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
由正弦定理得2asin75∘=2 2sin60°，
解得a= 2× 6+ 24 32=1+1 3，则c=1−1 3，
所以该椭圆的离心率e=ca= 3−1 3+1=2− 3．
故选：A．
9.AC
【解析】解：f(x)=sinx⋅|csx|=12sin2x,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−12sin2x,π2+2kπ1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增；
f(x)的极大值f(0)=1>0，f(x)的极小值f(a)=1−a3ℎ(0)=0，即ex−1>x，即ex−1x>1，所以f(x)是其定义域上的增函数．
(3)由(2)可知，x1时，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x≤1−e−kx−x