2025版高考数学全程一轮复习练习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式，共16页。试卷主要包含了掌握基本不等式 ．等内容，欢迎下载使用。
1.掌握基本不等式 (a>0，b>0)．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 几何画板给出直角三角形ADB，斜边上的高为CD，垂足C把斜边AB分为长度为a，b的两段线段，你能由这个图形，得出不等式的几何解释吗？
【问题2】 利用基本不等式求最值时，必须满足的三个条件是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 利用基本不等式求最值
角度一 配凑法求最值
例 1 (1)函数y＝3x＋(x>1)的最小值是( )
A．4 B．2－3
C．2 D．2＋3
(2)[2024·河北沧州模拟]若x>3，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
题后师说
配凑法求最值的策略
巩固训练1
(1)[2024·山西晋中模拟]已知00，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为( )
A．4－1 B．4＋2
C．4＋1 D．6
题型二 利用基本不等式求参数或范围
例 4 (1)[2024·江苏宿迁模拟]当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
(2)已知对任意正实数x，y，(x＋y)()≥9恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
题后师说
(1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；
(2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围．
巩固训练4
(1)当x>a时， 2x＋的最小值为10，则a＝( )
A．1 B． C．2 D．4
(2)正数a，b满足a＋4b－3ab＝0，若不等式m2－4m0，b>0，6a＋＝1，则＋6b的最小值为( )
A．13 B．19 C．21 D．27
3．为了庆祝中国共青团102周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为( )
A．30米 B．50米
C．80米 D．110米
4．(多选)[2022·新课标Ⅰ卷]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．lg2a＋lg2b≥－2 D．
5．若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是________．
状元笔记 利用基本不等式求最值与利用对勾函数求最值的区别与联系
【典例1】 函数y＝(x>－1)的最小值是( )
A．10 B．12
C．13 D．14
[解析] 令x＋1＝t>0, ∴x＝t－1，
∴y＝＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当t＝，即t＝3⇒x＝2时取等号．
[答案] A
【典例2】 函数f(x)＝x2＋的最小值是________．
[分析] f(x)＝x2＋变形后f(x)＝x2＋2＋－2类似于基本不等式的结构形式，但代数式(x2＋2)＋中只满足“一正、二定”，并不满足“三相等”，即x2＋2≠(若x2＋2＝，则x2＋2＝无解)，使得本题不能用基本不等式求解，那么如何求解呢？
联想到与基本不等式的结构相似的对勾函数模型．如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)．
(1)当∈[a，b]，f(x)＝＝f()＝＝2；
(2)当b，f(x)＝x＋在区间 [a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有在∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．
[解析] 由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，即x＝0时＝.
第四节 基本不等式
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：如图，
可证△ACD∽△DCB，因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表述为，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，不等式的等号成立．
【问题2】 提示：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)因为x>1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2 ＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立．
所以函数y＝3x＋(x>1)的最小值是2＋3.
(2)∵x>3，
∴x－3>0，
∴f(x)＝＝＝(x－3)＋≥2 ＝2，
当且仅当x－3＝，
即x＝4时，等号成立，
即f(x)有最小值2.
答案：(1)D (2)D
巩固训练1 解析：(1)因为00，所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)－3＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥2 －1＝4－1，
当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1>0时等号成立．
答案：A
例4 解析：(1)因为x>1，所以x－1>0，
所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，
故x＋的最小值为3.
因为当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，
所以a≤3.
(2)∵a，x，y>0，
∴(x＋y)()＝1＋a＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，当且仅当y＝x时取等号．
∵对任意正实数x，y，(x＋y)()≥9恒成立，
∴1＋a＋2≥9，化为()2＋2－8≥0，变为(＋4)(－2)≥0，
解得≥2，∴a≥4.
∴a的最小值为4.
答案：(1)D (2)C
巩固训练4 解析：(1)当x>a时，
2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.
(2)由题＝3，
则a＋b＝＝＝3，
∴m2－4m2－1＝，故B正确；
对于C，lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg2＝lg2＝－2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为()2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
5．解析：因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2⇔≥a恒成立，只需满足a≤()min，
因为x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故实数a的取值范围是(－∞，9].
答案：(－∞，9]