2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习37平面向量基本定理及坐标表示（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习37平面向量基本定理及坐标表示（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，1)，点A(－1，2)，则点C的坐标为( )
A．(3，4) B．(4，2)
C．(2，6) D．(－4，－2)
2．[2024·江西赣州模拟]已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则顶点D的坐标是( )
A．(2，2) B．(3，1)
C．(2，－2) D．(3，－1)
3．[2024·广东揭阳模拟]已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，－3)，a∥b，则a＋2b＝( )
A．(－2，4) B．(2，－4)
C．(2，4) D．(－2，－4)
4．[2024·广东佛山模拟]梯形ABCD中，AB＝2BC＝2CD＝2AD，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，则eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．(2，1) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，－1)
5．[2023·山东菏泽模拟]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(λa＋b)∥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1D．λμ＝－1
6．[2024·安徽滁州模拟]正六边形ABCDEF中，用eq \(AC,\s\up6(→))和eq \(AE,\s\up6(→))表示eq \(CD,\s\up6(→))，则eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))B．－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))D．－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
7．[2024·河北沧州模拟]在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AD,\s\up6(→))，则m＝( )
A．1B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
8．(素养提升)[2024·广东广州模拟]古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(3,2)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(DE,\s\up6(→))B．－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(DE,\s\up6(→))D．－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DE,\s\up6(→))
二、多项选择题
9．[2024·江苏徐州模拟]已知向量a＝(1，－2)，若存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则e1，e2可以是( )
A．e1＝(1，1)，e2＝(2，2)
B．e1＝(0，0)，e2＝(－2，4)
C．e1＝(1，1)，e2＝(1，2)
D．e1＝(－1，2)，e2＝(2，－4)
10.
(素养提升)[2024·湖北襄阳模拟]在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，E为AB中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的值可能是( )
A．1B．eq \f(3,2)
C．eq \f(5,7)D．3
三、填空题
11．AC为平行四边形ABCD的对角线，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝________．
12．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝________
13．(素养提升)若在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________．
四、解答题
14．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，3)，c＝(5，－1).
(1)求6a＋b－2c；
(2)若a＝mb＋nc，求实数m，n的值；
(3)若(a＋kb)∥(c－2a)，求实数k的值．
优生选做题
15．[2024·河北衡水模拟]如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为eq \f(2π,3)，P是扇形内部(包括边界)任意一点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，那么2x＋y的最大值是( )
A．eq \f(3\r(3),2)B．3
C．eq \f(2\r(21),3)D．eq \r(7)
16．已知点G是△ABC的重心，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，过点G作直线l交AB，AC边分别于点E、点F，设eq \(AE,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，证明：eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)是定值．
课后定时检测案37 平面向量基本定理及坐标表示
1．解析：设点C(x，y)，又因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，1)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，4)，即(x＋1，y－2)＝(3，4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＝3，,y－2＝4，))解得x＝2，y＝6，所以点C的坐标为(2，6).故选C.
答案：C
2．解析：设顶点D的坐标为(x，y)，
由题意知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，根据向量的坐标运算得(x＋2，y－1)＝(4，1)，解得x＝2，y＝2，即顶点D的坐标为(2，2).故选A.
答案：A
3．解析：因为a∥b，a＝(－1，2)，b＝(x，－3)，
所以2x－3＝0，得x＝eq \f(3,2)，
所以a＋2b＝(－1，2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－3))＝(2，－4).故选B.
答案：B
4．解析：在梯形ABCD中，AB＝2BC＝2CD＝2AD，所以AB∥CD，CD＝eq \f(1,2)AB，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－2).故选C.
答案：C
5．解析：λa＋b＝λ(1，1)＋(1，－1)＝(1＋λ，λ－1)，
a＋μb＝(1，1)＋μ(1，－1)＝(μ＋1，1－μ)，
因为(λa＋b)∥(a＋μb)，
所以(1＋λ)(1－μ)－(λ－1)(μ＋1)＝0，化简得λμ＝1.
故选C.
答案：C
6.
解析：设边长为2，如图，设AD，EC交于点O，有OD＝1，AO＝3，
则eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＋eq \f(1,6)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→)).故选B.
答案：B
7.
解析：在正六边形ABCDEF中，以A为原点，
分别以AB，AE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
不妨令AB＝1，则A(0，0)，C(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，D(1，eq \r(3))，M(t，eq \r(3))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(t，eq \r(3))，
由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋meq \(AD,\s\up6(→))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝\f(3,2)＋m，,\r(3)＝\f(\r(3),2)＋\r(3)m，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)，,t＝2.))故选B.
答案：B
8．解析：以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
不妨设AD＝2，则A(－1，eq \r(3))，B(5，5eq \r(3))，D(0，0)，E(9，eq \r(3))，C(0，4eq \r(3))，
故eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，4eq \r(3))，eq \(CE,\s\up6(→))＝(9，－3eq \r(3))，eq \(DE,\s\up6(→))＝(9，eq \r(3)).
设eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))＋yeq \(DE,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝9x＋9y，,4\r(3)＝－3\r(3)x＋\r(3)y，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,6)，,y＝\f(3,2)，))所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→)).故选B.
答案：B
9．解析：对于A，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(1，1)＋μ(2，2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ＋2μ，,－2＝λ＋2μ，))无解，所以不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项错误；
对于B，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(0，0)＋μ(－2，4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝－2μ，,－2＝4μ，))μ＝－eq \f(1,2)，λ∈R，存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确；
对于C，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(1，1)＋μ(1，2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ＋μ，,－2＝λ＋2μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝－3，))所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确；
对于D，由a＝λe1＋μe2，得(1，－2)＝λ(－1，2)＋μ(2，－4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝－λ＋2μ，,－2＝2λ－4μ，))所以存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，所以此选项正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝(2，m)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(1，2m)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－6，3m)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，0)，
设eq \(BP,\s\up6(→))＝xeq \(BD,\s\up6(→))，0≤x≤1，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋xeq \(BD,\s\up6(→))＝(6－6x，3mx)，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，
∴(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6－6x＝2λ＋μ，,3mx＝mλ＋2mμ，))整理得λ＋μ＝2－x，
因为x∈[0，1]，所以λ＋μ＝2－x∈[1，2].故选AB.
答案：AB
11．解析：
如图在平行四边形ABCD中，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(2，4)，
在△ACD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1).
答案：(－1，－1)
12．解析：由题得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－k－4，5)，
因为A、B、C三点共线，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
所以(4－k)·5＋7(－k－4)＝0，
所以k＝－eq \f(2,3).
答案：－eq \f(2,3)
13.
解析：由题意可知，在Rt△ABD中，
AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，
所以BD＝1，所以BD＝eq \f(1,3)BC，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝
eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因为eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(2,9)，μ＝eq \f(1,9)，
所以λ－2μ＝eq \f(2,9)－eq \f(2,9)＝0.
答案：0
14．解析：(1)∵a＝(2，1)，b＝(－2，3)，c＝(5，－1)，
∴6a＋b－2c＝6(2，1)＋(－2，3)－2(5，－1)
＝(12，6)＋(－2，3)－(10，－2)＝(0，11).
(2)∵b＝(－2，3)，c＝(5，－1)，
mb＋nc＝m(－2，3)＋n(5，－1)
＝(－2m，3m)＋(5n，－n)＝(－2m＋5n，3m－n)，
又a＝mb＋nc，a＝(2，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝－2m＋5n，,1＝3m－n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(7,13)，,n＝\f(8,13)，))∴m＝eq \f(7,13)，n＝eq \f(8,13).
(3)∵a＝(2，1)，b＝(－2，3)，c＝(5，－1)，
∴a＋kb＝(2，1)＋k(－2，3)＝(2－2k，1＋3k)，
c－2a＝(5，－1)－2(2，1)＝(1，－3)，
∵(a＋kb)∥(c－2a)，
∴3(2－2k)＋(1＋3k)＝0，
解得k＝eq \f(7,3).
15.
解析：以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设扇形AOB的半径为r，则A(r，0)，B(－eq \f(r,2)，eq \f(\r(3),2)r)，
设点P(acsθ，asinθ)(0≤a≤r，0≤θ≤eq \f(2π,3))，
因为eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＝x(r，0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(r,2)，\f(\r(3),2)r))＝(xr－eq \f(r,2)y，eq \f(\r(3),2)ry)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xr－\f(y,2)r＝acsθ，,\f(\r(3),2)yr＝asinθ，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝\f(2a,r)csθ，,y＝\f(2\r(3)a,3r)sinθ，))
所以2x＋y＝(2x－y)＋2y＝eq \f(2a,r)csθ＋eq \f(4\r(3)a,3r)sinθ＝eq \f(2\r(21)a,3r)sin (θ＋φ)，
其中φ为锐角，且tanφ＝eq \f(\r(3),2)，
因为0≤θ≤eq \f(2π,3)，则φ≤θ＋φ≤eq \f(2π,3)＋φ，
当θ＋φ＝eq \f(π,2)且a＝r时，2x＋y取得最大值eq \f(2\r(21),3).故选C.
答案：C
16．证明：因为G是重心，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因为E，G，F三点共线，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝teq \(AE,\s\up6(→))＋(1－t)eq \(AF,\s\up6(→))＝t·2x·eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－t)·y·eq \(AC,\s\up6(→))，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2tx＝\f(1,3)，,（1－t）y＝\f(1,3)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝\f(1,6x)，,t＝1－\f(1,3y)，))所以eq \f(1,6x)＋eq \f(1,3y)＝1，
两边乘以3得，eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)＝3，
所以eq \f(1,2x)＋eq \f(1,y)是定值．