高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算教学ppt课件

这是一份高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算教学ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了课前预习，课堂互动，分层训练，内容索引，知识探究，题型剖析，思维升华，课堂小结，素养提升等内容，欢迎下载使用。
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.
在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作____________________.
2.复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
对于复合函数的求导法则要注意以下三点：(1)yx′＝yu′·ux′也可表示为yx′＝f′(u)·g′(x)；(2)我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；(3)法则可以推广到两个以上的中间变量，例如yx′＝yu′·uv′·vx′.　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.( )
(3)f(x)＝x2cs 2x，则f′(x)＝2xcs 2x＋2x2sin 2x.( )提示　f′(x)＝2xcs 2x－2x2sin 2x.
2.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝(　　)
4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
题型一　求复合函数的导数
【例1】　求下列函数的导数.
解　(3)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.
(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【训练1】　求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；
解　(1)设y＝u4，u＝2x－1，则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设y＝10u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln 10×2＝2×102x＋3×ln 10＝102x＋3×ln 100.
解　(3)yx′＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcs 2x.
【例2】　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
题型二　复合函数求导法则的综合应用
(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
解　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln(2x－1)有交点，则曲线上的点到曲线2x－y＋m＝0的距离为0，故m＝－12舍去.即实数m的值为8.
【迁移2】　(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值.
利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
【训练2】　已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是__________.
解析　设x>0，则－x0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
题型三　复合函数导数的综合问题
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【训练3】　已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.
解析　s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
1.求复合函数的导数的3个注意点：①分解函数为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.2.和与差的运算法则的1个推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).
2.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝(　　)A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
3.设函数f(x)＝(2 021－2 020x)3，则f′(1)＝(　　)A.6 060 B.－6 060C.2 020 D.－2 020
解析　f′(x)＝3×(－2 020)(2 021－2 020x)2，则f′(1)＝3×(－2 020)＝－6 060.
4.(多选题)下列结论中不正确的是(　 　)
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为________(m/s2).
解析　当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).
7.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.
解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
解析　由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率.
所以a＝0，b＝－1.
三、解答题9.求下列函数的导数：
解　(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(3)y＝sin 2x－cs 2x；(4)y＝cs x2.
解　(3)yx′＝(sin 2x－cs 2x)′＝(sin 2x)′－(cs 2x)′
(4)设y＝cs u，u＝x2，则yx′＝(cs u)′·(x2)′＝(－sin u)·2x＝(－sin x2)·2x＝－2xsin x2.
10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线.求切线l的方程.
解　f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
解析　y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，∴y′|x＝0＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
∴f′(x)是偶函数，∴f′(x)－f′(－x)＝0，
∴f(2 021)＋f(－2 021)＋f′(2 021)－f′(－2 021)＝2.
故由复合函数求导法则得
将t＝1代入S′(t)，得S′(1)＝2.25(m/s).它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的速度为2.25 m/s.
14.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)