人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第08课 立方根（教师版）-

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第08课 立方根（教师版）-，共15页。试卷主要包含了72B．53，147×10=11等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
知识点02 立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：
任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点03 立方根的性质
（1）
（2）
（3）
注意：
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点04 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
能力拓展
考法01 立方根的概念
【典例1】下列语句正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
【答案】D；
【分析】根据立方根的定义判断即可.
【详解】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；
B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；
C．负数有立方根，故错误；
D．正确.
【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.
【即学即练】下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D.
考法02 立方根的计算
【典例2】求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案】
解：（1） （2） （3）

（4）

（5）

【点睛】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.
【即学即练】计算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.
考法03 利用立方根解方程
【典例3】（x﹣2）3=﹣125．
【分析】利用立方根的定义开立方解答即可．
【答案与解析】
解：（x﹣2）3=﹣125，
可得：x﹣2=﹣5，
解得：x=﹣3．
【点睛】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．
【即学即练】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；
（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．
【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．
考法04 立方根实际应用
【典例4】在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【分析】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.
【答案与解析】
解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为，可列方程解得
设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .
【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.
【即学即练】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)
【答案】 .
分层提分
题组A 基础过关练
1．64的立方根是（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
2．下列各式中,正确的是( )
A．=±4B．±=4C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
A中，不是互为相反数；
B中，不是相反数；
C中两数互为倒数；
D中两数互为相反数；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相反数的性质应用，准确分析是解题的关键．
4．下列说法正确的是( )
A．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零
B．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零
C．一个数的立方根不是正数就是负数
D．负数没有立方根
【答案】B
【解析】
【详解】
A. 如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零或 ；
C. 一个数的立方根不是正数就是负数，还有0；D. 负数有一个负的立方根
故选B.
5．若，则x和y的关系是( )．
A．x＝y＝0B．x和y互为相反数
C．x和y相等D．不能确定
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可．
详解：
∵,
∴,
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
6．下列说法中正确的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3B．
C．0的立方根是0D．1的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.
【详解】
解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、0的立方根是0，故选项正确；
D、1的立方根是1，故选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
7．立方根等于它本身的有( )
A．0,1B．-1,0,1C．0,D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据立方根性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1．
【详解】
解：∵立方根等于它本身的实数0、1或-1．
故选B．
【点睛】
本题考查立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就称为a的立方根，例如：x3=a，x就是a的立方根；任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（ ）
A．12B．4C．12或﹣4D．12或4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根和立方根的意义求出a、b即可．
【详解】
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
∵＝2，
∴b＝8，
∴a+b＝4+8或﹣4+8，
即a+b＝12或4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根以及有理数加法，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确求出a、b的值，注意：一个正数的平方根有两个．
9．有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是( )
A．－1B．1C．0D．±1
【答案】C
【解析】
【分析】
由相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，±1，即可求得答案．
【详解】
因为相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，±1，
所以相反数、平方根、立方根都等于它本身的数是0.
故选C.
【点睛】
本题考查立方根，平方根，相反数，解题的关键是熟练掌握立方根，平方根，相反数性质.
10．已知，，，则的值是（ ）
A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．
【详解】
解： =1.147×10=11.47．
故选C．
【点睛】
本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．
题组B 能力提升练
11．的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【详解】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.
12．已知(x﹣1)3=64，则x的值为__．
【答案】5
【解析】
【详解】
由（x﹣1）3=64，
得：x﹣1=4,
解得：x=5.
故答案为5.
13．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，从而得出答案．
【详解】
由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，
所以3a+1=-8，a+11=8，
所以，这个数是64，
它的立方根是4．
故答案是：4.
【点睛】
考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.
【答案】0
【解析】
【详解】
试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．
15．若＝0.694，＝1.442，则＝_____
【答案】6.94
【解析】
【分析】
根据立方根的性质即可求解．
【详解】
∵0.694，∴=10×=10×0.694=6.94．
故答案为6.94．
【点睛】
本题考查了立方根，解答本题的关键是熟练掌握立方根的性质．
16．已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是__________.
【答案】4
【解析】
【详解】
试题解析：根据题意得：
即2x+1=25，
解得：x=12.
则5x+4=5×12+4=64，
64的立方根是4.
故答案为：4.
17．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
所以，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．
题组C 培优拔尖练
18．计算下列各题：
（1）＋－
（2）.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先化简根式，再加减即可；（2）先化简根式，再加减即可；
试题解析：
（1）原式＝；
（2）原式＝－3－0－+0.5+
＝
19．求x的值：125－8x3＝0.
【答案】x＝.
【解析】
【分析】
先将原始变形为x3＝，再利用立方根的定义计算即可得到结果．
【详解】
解：125－8x3＝0.
－8x3＝－125，
x3＝，
x＝.
故答案为x＝.
【点睛】
本题考查利用立方根解方程，解答此题的关键是掌握有关立方根的概念的知识，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么就称这个数x为a的立方根(或三次方根表示为.
20．已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2.
（1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根．
【答案】（1）a=2，b=3（2）±4
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根与立方根定义得出5a﹣1=32，3a+b﹣1=23，解之求得a、b的值；
（2）由a、b的值求得2a+4b的值，继而可得其平方根．
【详解】
（1）由题意，得5a﹣1=32，3a+b﹣1=23，
解得a=2，b=3．
（2）∵2a+4b=2×2+4×3=16，
∴2a+4b的平方根=±4．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
21．已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008．
【答案】1
【解析】
【分析】
由于算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，由此可以列出关于m、n的方程组，解方程组求出m和n，进而代入所求代数式求解即可．
【详解】
∵M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，∴2m+n﹣3=2，2m﹣n=3，∴m=2，n=1，∴（n﹣m）2008=1．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根的定义．解决本题的关键是利用根的指数知识得到未知字母的值．
22．先判断下列等式是否成立：
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4） （ ）
……….
经判断：
（1）请你写出用含的等式表示上述各式规律的一般公式.
（2）证明你的结论.
【答案】四个结论均成立，（1） ；（2）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据立方根的意义，化简判断，然后根据特点列出规律的式子即可；
（2）利用立方根的意义，化简变形，得到证明过程.
试题解析：经判断四个结论均成立.
（1） .
（2）.
课程标准
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.