高中数学压轴题小题专项训练专题30斐波那契数列含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题30斐波那契数列含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，则下列说法正确的是（ ）
A．记为数列的前项和，则
B．在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为
C．
D．
2．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．设“斐波那契数列”为，数列的前项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A．175B．176C．177D．178
5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（ ）
A．2698B．2697C．2696D．2695
6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）．
A．1B．2019C．D．
二、多选题
7．斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．是奇数
8．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶数B．
C．D．
9．黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于
B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于
C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则
10．数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列：，，，，，，，……，称之为斐波那契数列，满足，，.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列：，，，，，，，……，称之为洛卡斯数列，满足，，.那么下列说法正确的有（ ）
A．B．不是等比数列
C．D．
11．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个典例.记斐波那契数列为，，则下列结论正确的有（ ）
A．单调递增B．
C．D．
13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{fn}称为斐波那契数列.并将数列{fn}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{gn}，则下列结论正确的是（ ）
A．g2019＝2
B．
C．g1+g2+g3+⋯+g2019＝2688
D．
三、填空题
14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
15．若数列满足，则称该数列为斐波那契数列.如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 .
16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中， .
17．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
①存在，使得成等差数列；
②存在，使得成等比数列；
③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；
④存在正整数，且，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，那么是斐波那契数列中的第 项.
19．由，给出的数列是著名的斐波那契数列：，其中每一个数均称为斐波那契数.则斐波那契数列中 末尾是三个0的斐波那契数.（填存在或不存在）
20．著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第 项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则 .（
21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数列中的第 项．
22．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：
①数列是严格增数列；②数列的前n项和满足；
③；④.
那么以上结论正确的是 （填序号）
23．斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列满足，且，则称数列为斐波那契数列.已知数列为斐波那契数列，数列满足，若数列的前12项和为86，则 .
参考答案：
1．B
【分析】由数列的前两项和递推关系式求出数列的前几项，即可判断A和B的真假；由递推关系式用累加的方法可以判断C和D的真假.
【详解】对于A，，
，
，所以A错误；
对于B，斐波那契数列数列中不大于34的数依次是，
其中偶数有3个，所以任取一个数字，取到的偶数的概率为，所以B正确；
对于C，由，，，，，
上式相加得：，所以C错误；
对于D，由，得，
则，，，
，，
上式相加得：，所以D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分理解斐波那契数列的递推式，并熟练掌握其变形.
2．C
【解析】根据定义，判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断可得.
【详解】解：因为
，
所以，故命题p为真命题，则为假命题.
，
故命题q为假命题，则为真命题.
由复合命题的真假判断，得为真命题.
故选：
【点睛】本题考查复合命题的真假性判断，由递推公式研究数列的性质，属于中档题.
3．A
【分析】列举该数列，该数列每项被3除以后的余数是周期为8的有序数字，利用古典概型公式可得数列的前2024项中能被3整除的概率.
【详解】因为，即该数列从第三项起，每一项均为前两项数字的和，
所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，，
该数列每项被3除后的余数分别为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，，
可以发现余数是周期为8的有序数字，每一个周期里面有两个0，
即每个周期里面有两个数字可以被3整除，
前项里面共有（个）周期，
所以有（个）数字可以被3整除，
记“从该数列的前项中随机抽取一项，能被3整除”为事件A，
则.
故选：A
4．B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，得 ，
所以，
，
，
，
将这个式子左右两边分别相加可得：
，
所以.
所以
.
故选：B．
5．C
【分析】根据斐波那契数列的递推关系写出数列的项，从而可写出数列的项，找出周期变化规律，即可求解.
【详解】∵
∴数列为 ，
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列为：
是以 6 为周期的周期数列，
∴.
故选：C.
6．A
【分析】计算部分数值，归纳得到，计算得到答案.
【详解】；；；…
归纳总结：
故
故选：
【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.
7．ACD
【分析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D.
【详解】对A：由，可得，
即有，故A正确；
对于B：由题意，，，，
以上式子累加得：，故B不正确；
对于C：因为，则，
则
，故C正确；
对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为，
3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：
①当，2，3时，，，满足规律，
②假设当，，时满足为偶数，，为奇数，
③当，，时，
，因为，为奇数，所以为偶数，
，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，
，因为为奇数，为偶数，所以为奇数，
故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，
2024项是非3的倍数项，故D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明.
8．BD
【分析】判断数列的项的奇偶性的规律，判断A；利用递推关系判断B；举出反例判断C；利用数学归纳法可判断D.
【详解】对于A，由于斐波那契数列满足：为奇数，，
则为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，
依次类推，即数列的项按“奇数奇数偶数”的规律循环出现，
即所有序号为3的倍数的项为偶数，其余项为奇数，
而，故为奇数，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，取，此时，C错误；
对于D，首先用数学归纳法证明一个结论：当n为奇数时，；
当时，，结论成立；
假设当（k为奇数）时，，
则时，
，
即时，结论也成立，
故当n为奇数时，，故，D正确，
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查了数列新定义即斐波那契数列的性质问题，解答的难点在于要能根据数列的规律明确相关的性质，特别是D的判断，要先用数学归纳法证明相关的结论，继而即可判断.
9．ABD
【分析】选项A，将条件中数量积用坐标表示，整理方程可得；选项B，分别用正余弦定理得到边长与腰长的方程，联立方程组可得；选项C，由等比数列性质，在两边同除以可得公比的方程；选项D，结合对数性质，借助连等式设法，找到的等量关系即可.
【详解】对选项A，设椭圆的方程为，
则，，，
由，得，
即，即，可得，故A正确；
对选项，设该三角形底边长为，腰长为，
由正弦定理得，即①；
又由余弦定理得②，
①②两式联立得，即，
由于，，故，故B正确；
对选项C，设数列的公比为，，则，
由题意得，，两边同除以整理得，
，解得，故C错误；
对选项D，设，
则，，，由，
得，即，
则，且，解得，故D正确．
故选：ABD．
10．AC
【分析】利用斐波那契数列和洛卡斯数列的性质与特点一一代入检验即可.
【详解】对于A，当时，，等式成立；
当时，，等式成立；假设当时，成立，
那么当时，，
又，，，等式成立；
综上所述：成立，A正确；
对于B，，，又，
是以为首项，为公比的等比数列，B错误；
对于C，，
，C正确；
对于D，取，则，，有，D错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】由可得出，利用累加法可判断A选项；由结合累加法可判断B选项；利用数学归纳法可判断C选项；由可得，结合裂项法可判断D选项.
【详解】对于A，由，可得，
则、、，、，
将上式累加得，
又，则有，故A正确；
对于B，由，可得、、、，
将上式累加得，
又，则，故B错误；
对于C，有成立，用数学归纳法证明如下：
①当时，，满足规律，
②假设当时满足成立，
当时，则
成立，满足规律，
故，令，
则有成立，故C正确；
对于D，由可得，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【分析】对于A特殊值即可判断；
对于B分别用表示和即可判断；
对于C用换底公式换底之后即可判断；
对于D利用转换的数学思想，即可判断；
【详解】，故非单调，A错误；
由数列通项公式，
，
而
，两式相等，B正确；
∵
，C正确；
注意到
∴单调递增，，其分母大于零，
，而递减，
∴，∴，，，∴∴，D正确.
故选：BCD.
13．AB
【分析】根据数列的递推关系可得各项除以4的余数为周期数列，从而可判断AC的正误，再利用数列的递推关系化简BD选项的代数式的左式，计算后可判断BD的正误.
【详解】的各项为：，
故的各项为：，
因此为周期数列且周期为6，故，故A正确.
又，故C错误.
又，
而
，
要证，
则需证：，
注意到，故即证，
结合，故即证或（注意两者等价）
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：即证：，
依次即证：，
而，故成立，
故成立即成立，故B正确.
因为，故，
所以，
所以，
故.
但，
故不成立.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：对于与数列有关的数学文化题，我们首先要弄清楚数列的递推关系，而且需要对要研究的新的关系进行合理变形，必要时需利用反证法.
14．
【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有674个偶数，1350个奇数，
记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，
则所有元素之和为奇数的集合B可看成，
显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.
15．/
【分析】根据递推公式可得，结合累加法计算得即可判断.
【详解】因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，其中，
累加得，又，
所以，
故：.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，由递推关系得，利用累加法可得，即可判断.
16．2020
【分析】由题意可得，再结合累加法即可求解
【详解】由题意，，
所以，
，
。
，
所以，
所以，
所以，
所以，
由，
所以，
所以，
故答案为：
17．①③④
【分析】由成等差数列判断①；由数列任意连续三项为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}，结合是否能成立判断②；利用递推式可得，即判断③；写出前16项判断是否存在使判断④.
【详解】由题设，，显然成等差数列，①正确；
由题设知：在上，依次为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}或{偶数,奇数,奇数}，
所以不可能有，故不存在使成等比数列，②错误；
由，，，
所以，故，则成等差数列，
故存在使得对任意，都有成等差数列，③正确；
由，，，…，，，
所以，则，
由题设，数列前16项分别为，
其中，
所以存在正整数，且，使得，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列的定义性质判断①②，应用递推式得到判断③，列举出前16项，直接判断是否存在使对应各项和为.
18．2020
【分析】由，得，即可得到本题答案.
【详解】由题，得,
则，
，
，
，
又因为，所以，
即，
所以，是斐波那契数列中的第2020项.
故答案为：2020
【点睛】本题主要考查斐波那契数列的应用，由，得，是解决此题的关键，主要考查学生的推理分析能力及计算能力.
19．存在
【分析】根据抽屉原理可得存在两个这样的数对、，使得，均能被1000整除，再由斐波那契数列的定义推理证明.
【详解】对无穷数列各项模1000取余数，则个有序数组，，…，
分属1000000个类型：，
所以由抽屉原理存在两个这样的数对、，
使得，均能被1000整除.
据斐波那契数列的定义得
.
从而，被1000整除.
类似的，被1000整除.
……
最后得到数、均被1000整除.
因为，所以，
.
因此，被1000整除，它的末尾是三个0，即存在末尾是三个0的斐波那契数.
故答案为：存在.
20． 101 842
【分析】根据斐波那契数列的定义，化简得,得到答案①；利用，得到，进而求出，得到答案②.
【详解】
，
则是斐波那契数列中的第101项；
列出斐波那契数列，有，
可得，由，取，
，
，
得，，因为，故，
则，.
故答案为：①101；②842.
21．2016
【分析】根据已知条件可以得到，则,即依次类推即可解得.
【详解】斐波那契数列总有则
，即
，
，
……，
，
∴
故是斐波那契数列中的第2016项．
故答案为：2016
22．②③
【分析】根据数列的特征以及递推公式，即可判断①；由已知可得，累加法即可得出②；，变形可得时，，然后累加，即可得出③；举例，验证，即可判断④.
【详解】对于①，由题意可知，，，.
由已知，则当时，单调递增.
所以，时，由已知可知，单调递增，且.
所以数列在时，为严格增数列.
但是该数列的前三项不满足，故①错误；
对于②，当时，有
，
，
，
，
，
，
两边同时相加可得，，
所以，，故②正确；
对于③，由已知可得，，
，
，
，
两边同时相加可得，，故③正确；
对于④，当时，左边为，右边为，显然不成立，故④错误.
所以，结论正确的是②③.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：由递推公式推得，，进而累加法，逐项相消即可得出.
23．8
【分析】利用斐波那契数列定义可写出数列的项，再利用，代入n的值，可求得数列的项之间的关系，进而得解.
【详解】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…….
由得：，，，
则，
同理：，，，，，
得：，，，，
则，，
则，
则
故答案为：8.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推关系求数列的项，解题的关键是理解斐波那契数列，写出对应的项，再利用数列的递推关系求出数列的项的关系，即可求解，考查学生的理解能力与运算求解能力，属于难题.